第18講 — 等比数列(PG)

定義と公式

一般項

$a_n = a_1 q^{n-1}$

最初の $n$ 項の和

$q \neq 1$ のとき: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

証明:$S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$。$q$ を掛ける: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ 引き算すると:$q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$、よって $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$。∎

無限和(収束する PG)

$|q| < 1$ ならば、$n \to \infty$ のとき $q^n \to 0$。したがって:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

これは 等比級数 であり、テイラー級数の中心的部分(Trim 9)。

振る舞い

• $q > 1$:PG は指数的に増加。
• $q = 1$:定数。
• $0 < q < 1$:減少し、0 に収束。
• $q = -1$:$a_1, -a_1, a_1, \ldots$ と振動。
• $q < -1$:振幅が大きくなりながら振動。