第21課 — デカルト平面:距離、中点

ℝ²における解析幾何

距離

$P = (x_1, y_1)$、$Q = (x_2, y_2)$ について: $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

中点

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

比$k$による線分の分割

$\overline{PQ}$ を比 $PR/RQ = k$ で分割するには: $R = \left(\frac{x_1 + k x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}\right)$

面積の計算

頂点 $A = (x_1, y_1)$、$B = (x_2, y_2)$、$C = (x_3, y_3)$ の三角形の面積: $\text{面積} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

これは $\frac{1}{2} |\det M|$ と同等で、$M$ はベクトル $\vec{AB}, \vec{AC}$ の行列です。