第23講 — 直線の相対位置

判定基準と公式

平行性と垂直性

直線 $r: y = m_r x + n_r$ と $s: y = m_s x + n_s$ に対して:

• 平行 (一致しない): $m_r = m_s$ かつ $n_r \neq n_s$。
• 一致: $m_r = m_s$ かつ $n_r = n_s$。
• 交わる: $m_r \neq m_s$。
• 垂直: $m_r \cdot m_s = -1$ (どちらも垂直線でないとする)。

垂直線を含む場合: $x = a$ は垂直、$y = b$ は水平。垂直線同士は平行; 垂直と水平は垂直。

直線間の角度

$\tan\theta = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|$

(どちらも垂直線でないとする。)

点と直線の距離

点 $P_0 = (x_0, y_0)$ と直線 $Ax + By + C = 0$:

$d(P_0, r) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

平行な直線間の距離

$r: Ax + By + C_1 = 0$ と $s: Ax + By + C_2 = 0$ に対して: $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$