第26課 — 平面のベクトル

ℝ²のベクトル

演算

• 和:$\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$。
• スカラー:$\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$。
• 差:$\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$。

大きさ(ノルム)

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

単位ベクトル

$\hat v = \vec v / |\vec v|$ は大きさ1。単位ベクトル。

標準ベクトル

$\hat\imath = (1, 0)$、$\hat\jmath = (0, 1)$。任意のベクトル:$\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$。

性質

• 交換律:$\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$。
• 結合律:$(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$。
• 単位元:$\vec 0 = (0, 0)$、$\vec v + \vec 0 = \vec v$。
• 逆元:$\vec v + (-\vec v) = \vec 0$。
• 分配律:$\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha \vec u + \alpha \vec v$。

これら8つの性質がベクトル空間を特徴付ける — 線形代数(12学期)で正式に扱われる。

平行四辺形の法則

$\vec u + \vec v$ は $\vec u$ と $\vec v$ で形成される平行四辺形の対角線。