第27課 — 内積

定義と性質

性質

• 交換律:$\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$。
• 分配律:$\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$。
• スカラーに線形:$(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v)$。
• 正定値:$\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0$、等号 $\iff \vec u = \vec 0$。

直交性

$\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$(直交 ⟺ 内積ゼロ)。

角

$\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}$

射影

$\vec v$ 方向への $\vec u$ の射影: $\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v$

中心的応用 — 力学的仕事

$W = \vec F \cdot \vec d$ — 力の仕事は変位との内積。