第29回 — 2x2および3x3線形連立方程式

方法と理論

解法

1. 代入法: 一つの変数を分離し、もう一つに代入する。
2. 加減法(消去法): 方程式を組み合わせて変数を消去する。
3. クラメル: 行列式の比。
4. ガウスの消去法: 行列を三角化する。

クラメル 2x2

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$、$D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ のとき:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

クラメル 3x3

3x3行列式(サラス): $\det A = \sum$ 主対角線の積 $-$ 反対角線の積。

行列式による分類

• $D \neq 0$: 唯一解。
• $D = 0$ + 矛盾のないシステム: 無限個の解(アフィン部分空間)。
• $D = 0$ + 矛盾のあるシステム: 解なし。