第32講 — 行列の演算

演算

和と差

同じ次元の行列について: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

スカラー倍

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

行列積

$A$ の列数 = $B$ の行数 のときにのみ定義される: $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

性質

• 結合法則:$(AB)C = A(BC)$。
• 分配法則:$A(B + C) = AB + AC$。
• 可換ではない:一般に $AB \neq BA$。
• 単位:$AI = IA = A$。
• 零:$AO = OA = O$。

なぜ行列積は「奇妙」なのか

それは線形変換の合成に対応するから:先に $B$ を、次に $A$ を適用するのは $AB$ を適用するのと同じ。順序が重要なのは合成が重要だから。