第33講 — 転置行列、単位行列、逆行列

転置と逆行列

転置

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$。行と列を入れ替える。性質:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$(順序が反転!)

対称行列:$A^T = A$。

単位行列

$I_n$:対角に 1 を持ち、それ以外は 0 の正方 $n \times n$ 行列。すべての $A_{n \times n}$ について: $AI = IA = A$

逆行列

$A_{n \times n}$ は $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ を満たす $A^{-1}$ が存在するとき正則である。等価:

1. $A$ は正則。
2. $\det A \neq 0$。
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ は $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ のみ。
4. $A$ の列は線形独立。

2x2 の逆行列

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

($ad - bc \neq 0$ のとき有効。)

逆行列の性質

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$(順序が反転!)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$