第34講 — 2x2と3x3の行列式

計算と性質

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 (サラス)

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(「下降3積 − 上昇3積」の規則。)

性質

1. $\det(I) = 1$.
2. $\det(A^T) = \det(A)$.
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
4. $\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$($A_{n \times n}$のとき).
5. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
6. 2行/列の入れ替えは符号を反転させる。
7. $A$に等しい2行/列があれば、$\det A = 0$。
8. ある行の倍数を別の行に加えても行列式は変わらない。

幾何学的解釈

• $|\det A|$ = $A$の列が張る平行六面体の体積。
• $\det A > 0$: 向きが保たれる。$\det A < 0$: 向きが反転。
• $\det A = 0$: 列が一次従属(平行六面体が「つぶれる」)。

可逆性の判定

$A$が可逆 $\iff \det A \neq 0$.