第35講 — 行列を用いた連立方程式の解法

解法

行列形式

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

方法1 — ガウスの消去法

基本変形(解を変えない):

1. 2行を入れ替える。
2. 行を非零スカラー倍する。
3. ある行の倍数を他の行に加える。

目的: 拡大係数行列$[A | \mathbf{b}]$を行階段形まで三角化。その後、後退代入。

方法2 — クラメル

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$かつ$\det A \neq 0$のとき: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

ここで$A_i$は$A$の第$i$列を$\mathbf{b}$で置き換えたもの。

方法3 — 逆行列

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$。$A^{-1}$は$[A | I] \to [I | A^{-1}]$の消去で計算できる。

どれをいつ使うか

• クラメル: 理論的に美しいが$O(n^4)$ — $n \leq 3$でのみ使用。
• ガウス: $O(n^3)$、実用上の標準。
• 明示的逆行列: 同じ$A$で多くの系を解く必要がある場合のみ。

分類

• 確定: 唯一の解($\det A \neq 0$)。
• 不定: 無限の解($\det A = 0$ + 整合)。
• 不能: 解なし($\det A = 0$ + 不整合)。