Lição 38 — Combinações e binômio de Newton

$\binom{5}{2}$を計算します。

$\binom{8}{3}$を計算します。

$\binom{10}{5}$を計算します。

任意の$n \geq 0$に対して$\binom{n}{0}$の値は何ですか？組合論的に正当化してください。

任意の$n \geq 1$に対して$\binom{n}{1}$の値は何ですか？組合論的に正当化してください。

対称性$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$を使って$\binom{20}{18}$を計算します。

パスカルの恒等式を数値的に検証：$\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = \binom{7}{3}$。3つの二項係数をすべて計算します。

10人のグループから4人の委員会を選ぶ方法は何通りですか？

メガセナは60の利用可能な十進数から6つを抽選します。異なる単純な賭けはいくつ存在しますか？

15人の学生から4人のグループをいくつ形成できますか？

集合$\{a, b, c, d, e\}$は（空と全体を含む）何個の異なる部分集合を持ちますか？

52枚のデッキから引き出すことができる異なる5カードハンドは何個ありますか？

ニュートンの二項定理による$(1 + x)^5$の展開での$x^3$の係数は何ですか？

$(x + y)^6$の展開での$x^4 y^2$の係数は何ですか？

ニュートンの二項定理で$(x + 1)^4$を展開します。すべての項を書きます。

ニュートンの二項定理で$(2x - 3)^3$を展開します。

$(a + b)^6$の中間項（第4項、$T_4$）は何ですか？

$(2x + 3)^{10}$の展開での$x^7$の係数は何ですか？

$\binom{20}{p} = \binom{20}{p-2}$となるpの値を見つけます。

$(1 + x)^{20}$の展開での$x^{10}$の係数は何ですか？

$n = 5$の場合、$\displaystyle\sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} = 2^5$を明示的に検証します。すべての項をリストします。

正八角形の3つの頂点を結んで、何個の異なる三角形を形成できますか？

10辺のポリゴンには対角線がいくつありますか？

$\binom{9}{3}$を計算します。

パスカルの三角形の第7行（インデックス6）のすべての値を書きます。

$(1 + x)^{10}$の展開での$x^5$の係数は何ですか？

組合$\binom{n}{r}$と順列$P(n, r)$の概念的な違いは何ですか？

10人の男性と8人の女性のグループから、ちょうど3人の男性と2人の女性の5人委員会をいくつ形成できますか？

方程式$x + y + z = 10$は何個の非負整数解を持ちますか？

52枚のデッキでは、正確に2枚のエースを持つ5カードハンドは何個ありますか？

右または上への単位ステップのみを使用して、$(0, 0)$から$(5, 3)$への異なるパスはいくつありますか？

1枚のチケット（60中6十進数）でメガセナに勝つ確率は何ですか？

市場調査では、分析官は20の製品ポートフォリオから5つの製品を分析するために選択する必要があります。この選択は何通りできますか？

公正なコインが10回投げられます。二項分布$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$を使用して、正確に5つのヘッドを取得する確率を計算します。

8つの同一キャンディーを3人の子供に配布する方法は何通りですか（各子供がゼロ以上を受け取ることができます）？

30人の学生のクラスから5人のチームをいくつ形成できますか？

なぜ$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ですか？正しい組合論的解釈は何ですか？

$\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$を証明する最も優雅な方法は何ですか？

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$の展開でのxに依存しない項の係数は何ですか？

nの帰納法によって二項定理を証明します。パスカルの恒等式が帰納的ステップのどこで使用されるかを明示的に識別します。