Lição 41 — Limite formal: definição ε-δ

$\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1)$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x + 5}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\!x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$ を計算します。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ を計算します。

$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在するには、$f(a)$ が定義されている必要がありますか？

$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在するための条件は何ですか？

極限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ が存在しますか？片側極限を計算して結論を出します。

極限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ が存在しますか？

どの状況が $x = 2$ での極限なしの関数を説明していますか？

ε-δ 定義を暗記で書く：$\lim_{x \to a} f(x) = L$ と各量化子の役割を説明してください。

$f(x) = 1$ for $x > 0$ と $f(x) = -3$ for $x \leq 0$ を考えます。$x = 0$ での片側極限を計算して、両側極限が存在するか決定してください。

はさみ込み定理を使用して正当化する：$\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ を計算してください。

関数 $f(x) = (x^2 - 9)/(x-3)$ は $x = 3$ で定義されていません。$\lim_{x \to 3} f(x)$ を計算して、極限が存在する理由を説明してください。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ を計算して、結果が $\lim_{x\to 0}1/x$ と異なる理由を説明してください。

RC 回路では、キャパシタの電圧は $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/\tau})$（$\tau > 0$）。$\lim_{t \to +\infty} V(t)$ を計算して、結果を物理的に解釈してください。

物体の位置は $s(t) = t^2$ メートル。極限の定義を使用して、瞬間速度 $v(t) = \lim_{h \to 0}\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$ を計算してください。

薬物動態では、医薬品の濃度は $C(t) = C_0 e^{-kt}$（$k > 0$）。$\lim_{t \to +\infty} C(t)$ を計算して結果を解釈してください。

制御理論では、一次システムの伝達関数は $H(s) = K/(s+1)$。DC ゲイン $\lim_{s \to 0} H(s)$ を計算して、それが表す内容を言ってください。

人口成長モデルでは、人口当たり成長率は $r(x) = (\ln x)/x$ で減少。$\lim_{x \to +\infty} r(x)$ を計算して解釈してください。

テイラー切り捨て誤差は $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)-hf'(0)}{h^2}$ を満たします。$f(x) = e^x$ のとき、この極限を計算して解釈してください。

極限が存在するとき、$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ が表す内容は何ですか？名前、幾何学的解釈、物理的解釈を与えてください。

ε-δ を介して厳密に $\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ を証明してください。下書き、$\delta$ の選択、形式的証明を示してください。

ε-δ で $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ を証明してください。$\delta$ の選択でなぜ $\min$ が必要かを示してください。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ を計算してください。

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ を計算してください。

ε-δ で $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$ を証明してください。完全な戦略を示してください：下書き、制限、$\delta$ 選択、形式的証明。