Lição 43 — Continuidade de funções

Verifique se $f(x) = x^2$ é contínua em $x = 2$. Aplique o checklist das três condições.

Classifique a descontinuidade de $f(x) = 1/x$ em $x = 0$.

Classifique a descontinuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ em $x = 1$ e explique como repará-la.

Que valor deve ter $f(3)$ para que $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ seja contínua em $x = 3$?

Analise a continuidade de $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}$ em $x = 0$.

Determine $a$ tal que $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ ax + 1 & x > 1 \end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$.

Classifique a descontinuidade de $f(x) = \sin(1/x)$ em $x = 0$.

Analise a continuidade da função parte inteira $f(x) = \lfloor x \rfloor$ em todos os inteiros.

Em que subconjunto de $\mathbb{R}$ a função $f(x) = e^x$ é contínua?

Em que subconjunto de $\mathbb{R}$ a função $f(x) = \ln x$ é contínua?

A função $f(x) = x\sin(1/x)$ estendida com $f(0) = 0$ é contínua em $x = 0$? Justifique.

A função $f(x) = \begin{cases} (\sin x)/x & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ é contínua em $x = 0$?

Determine $k$ para que $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & x \leq 2 \\ 3x + 1 & x > 2 \end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$.

Que valor deve ter $f(1)$ para que $f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$ seja contínua em $x = 1$?

Determine o maior subconjunto de $\mathbb{R}$ em que $f(x) = \tan x$ é contínua.

Analise a continuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ em $\mathbb{R}$ e classifique qualquer descontinuidade encontrada.

Determine $a$ e $b$ para que $f(x) = \begin{cases} x + a & x < 1 \\ b & x = 1 \\ 2x + 1 & x > 1 \end{cases}$ seja contínua em $x = 1$.

Encontre $k$ para que $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2 & x \leq -1 \\ kx + 3 & x > -1 \end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$.

Determine o domínio de continuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Encontre todos os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 9}$ e classifique-os.

Justifique que $f(x) = \sin(x^2)$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ usando o teorema da composição.

Mostre que $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ é contínua em todo $\mathbb{R}$, incluindo $x = 0$.

A função sinal $f(x) = x/|x|$ (com $f(0) = 0$) é contínua em $x = 0$? Classifique corretamente a descontinuidade.

Determine em que intervalo $f(x) = \sqrt{4 - x}$ é contínua, justificando o comportamento no extremo $x = 4$.

Como tornar $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ contínua em $x = 0$? Use o teorema do confronto.

Encontre e classifique todas as descontinuidades de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$.

Use o TVI para mostrar que $x^3 - x - 1 = 0$ tem raiz em $(1, 2)$.

Mostre que $x^3 + 2x - 5 = 0$ tem raiz em $[1, 2]$.

Mostre que a equação $\cos x = x$ tem solução em $(0, \pi/2)$.

Mostre que $e^x = 3 - x$ tem solução em $(0, 1)$.

Prove que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

$f$ é contínua em $[0,1]$ com $f(x) \in [0,1]$ para todo $x$. Prove que existe $c$ com $f(c) = c$ (ponto fixo).

Mostre que $\ln x = e^{-x}$ tem solução em $(1, e)$.

Use o TVI para localizar raízes reais de $f(x) = x^4 + x - 3$ em $(-2, 2)$.

Um objeto cai de altitude $h_0$ ao solo. Justifique matematicamente que ele passou por toda altitude intermediária entre $0$ e $h_0$.

Se a temperatura às 6h era $15°C$ e às 14h era $28°C$, justifique que houve algum momento em que era exatamente $20°C$.

Se $f$ e $g$ são contínuas em $a$, prove que $f + g$ e $f \cdot g$ são contínuas em $a$.

A função de Dirichlet $D(x) = 1$ se $x \in \mathbb{Q}$, $D(x) = 0$ se $x \notin \mathbb{Q}$ — em que pontos de $\mathbb{R}$ é contínua? Justifique.

Se $f$ é contínua em $a$ e $f(a) > 0$, prove que existe vizinhança de $a$ onde $f > 0$.

Escreva a demonstração do TVI usando o conjunto $S = \{x \in [a,b] : f(x) < k\}$ e o supremo. Explique por que a completude de $\mathbb{R}$ é indispensável.