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Lição 44 — Limites laterais e existência do limite bilateral

Limite pela direita e pela esquerda. Teorema de existência via laterais. Descontinuidades de salto em funções definidas por partes, funções degrau e colchetes. Aplicações em faixas de preço e alíquotas.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês §limites unilaterais · Equiv. Analysis-Vorkurs alemão

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições rigorosas

Limites laterais: definições épsilon-delta

"We say the function has a right-hand limit equal to L at a if for every number ε > 0 there exists a corresponding number δ > 0 such that for all x with 0 < x − a < δ we have |f(x) − L| < ε." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.2

Teorema da existência via laterais

"A function has a limit at a point if and only if both the left and right limits exist at that point and are equal." — APEX Calculus, §1.4

Tabela de formas quantificadas

Tipo de limite	Condição de $x$	Forma quantificada
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$0 < \lvert x - a \rvert < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$	$0 < x - a < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$	$0 < a - x < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$	$0 < x - a < \delta$	$f(x) > M$

Visualização: limites laterais num ponto de salto

Descontinuidade de salto em $x = a$ : limites laterais existem ( $L^-$ e $L^+$ ) mas diferem. O valor $f(a)$ (ponto preenchido) pode ser qualquer coisa — não interfere nos limites.

Domínio e limites em fronteira

Se $a$ é extremo esquerdo do domínio de $f$ (por exemplo, $f(x) = \sqrt{x}$ com domínio $[0, +\infty)$ ), então apenas o limite pela direita é relevante:

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0.$

O limite pela esquerda não existe por falta de domínio. Nesses casos, o limite bilateral é identificado com o limite lateral que existe.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da leitura de gráfico à determinação de constante para existência do limite. Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Lendo limites laterais de um gráfico

Problema. O gráfico de $f$ mostra: a curva vinda da esquerda de $x = 2$ se aproxima de $y = 3$ (ponto aberto); a curva vinda da direita se aproxima de $y = 5$ (ponto aberto); há um ponto cheio em $(2, 1)$ . Determine $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to 2} f(x)$ e $f(2)$ .

Estratégia. Cada informação do gráfico tem papel distinto: a curva revela os limites laterais; o ponto cheio revela o valor da função. O limite bilateral existe somente se os laterais coincidem.

Resolução.

Limite pela esquerda. A curva tende a $y = 3$ quando $x \to 2^-$ (ponto aberto confirma que 3 não é atingido). Logo $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$ .
Limite pela direita. A curva tende a $y = 5$ quando $x \to 2^+$ . Logo $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$ .
Limite bilateral. Como $3 \neq 5$ , pelo critério de existência: $\lim_{x \to 2} f(x)$ não existe. Há uma descontinuidade de salto de amplitude $|5 - 3| = 2$ .
Valor da função. O ponto cheio em $(2, 1)$ indica $f(2) = 1$ . Esse valor é independente dos limites laterais.

Verificação. $f(2) = 1$ difere dos dois limites laterais (3 e 5), o que é consistente: o valor pontual não altera os limites.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.2 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limites laterais de função definida por partes

Problema. Seja

$g(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x < 3 \\ 2x - 3 & x \geq 3 \end{cases}.$

Calcule $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ , $\lim_{x \to 3^+} g(x)$ e determine se $\lim_{x \to 3} g(x)$ existe.

Estratégia. Para $x < 3$ usamos a fórmula $x^2 - 1$ ; para $x > 3$ (no limite pela direita, $x$ nunca é exatamente 3) usamos $2x - 3$ . O sinal $\geq$ em $g$ só afeta o valor $g(3)$ , não o limite lateral.

Resolução.

Limite pela esquerda ( $x \to 3^-$ , com $x < 3$ ):

$\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 1) = 9 - 1 = 8.$

Limite pela direita ( $x \to 3^+$ , com $x > 3$ ):

$\lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3} (2x - 3) = 6 - 3 = 3.$

Comparação. $8 \neq 3$ , portanto $\lim_{x \to 3} g(x)$ não existe. O salto tem amplitude $|8 - 3| = 5$ .
Valor da função. $g(3) = 2(3) - 3 = 3$ .

Verificação. $\lim_{x \to 3^-} g(x) = 8 \neq g(3) = 3$ : a função também é descontínua à esquerda em $x = 3$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.2, exemplo 2.13 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Determinando constante para existência do limite

Problema. A função

$h(x) = \begin{cases} ax + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}$

deve ter $\lim_{x \to 2} h(x)$ existente. Encontre o valor de $a$ .

Estratégia. Para que o limite bilateral exista, os limites laterais devem ser iguais. Calcula-se cada um em função de $a$ e iguala-se.

Resolução.

Limite pela esquerda:

$\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2} (ax + 1) = 2a + 1.$

Limite pela direita:

$\lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 4 - 1 = 3.$

Condição de existência: $2a + 1 = 3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$ .
Verificação. Com $a = 1$ : limite pela esquerda $= 3$ , pela direita $= 3$ . O limite bilateral existe e vale $3$ . Como $h(2) = 4 - 1 = 3$ também, $h$ é contínua em $x = 2$ quando $a = 1$ .

Fonte. APEX Calculus, §1.4, exercício 1.4.7 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Limite unilateral infinito e assíntota vertical

Problema. Calcule $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1}$ e $\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x - 1}$ . Identifique a assíntota vertical.

Estratégia. Analisar o sinal de $x - 1$ quando $x \to 1^+$ (denominador positivo) e $x \to 1^-$ (denominador negativo).

Resolução.

Pela direita ( $x > 1$ ): $x - 1 > 0$ , portanto $1/(x - 1) > 0$ . Conforme $x \to 1^+$ , $x - 1 \to 0^+$ , logo $1/(x-1) \to +\infty$ .

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty.$

Pela esquerda ( $x < 1$ ): $x - 1 < 0$ , portanto $1/(x - 1) < 0$ . Conforme $x \to 1^-$ , $x - 1 \to 0^-$ , logo $1/(x-1) \to -\infty$ .

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty.$

Assíntota vertical. Como pelo menos um limite lateral é infinito em $x = 1$ , a reta $x = 1$ é assíntota vertical do gráfico de $f(x) = 1/(x-1)$ .
Limite bilateral. Os dois lados diferem ( $+\infty \neq -\infty$ ); o limite bilateral não existe.

Verificação. Em $x = 1{,}01$ : $1/(0{,}01) = 100 > 0$ . Em $x = 0{,}99$ : $1/(-0{,}01) = -100 < 0$ . Sinais confirmados.

Fonte. APEX Calculus, §1.4, exemplo 1.4.2 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Faixas tarifárias: limites laterais em aplicação real

Problema. Um serviço de streaming cobra mensalidade $P(n)$ (em R$) de acordo com o número de telas simultâneas $n$ :

$P(n) = \begin{cases} 19{,}90 & 1 \leq n \leq 2 \\ 34{,}90 & 3 \leq n \leq 4 \\ 54{,}90 & n \geq 5 \end{cases}.$

Modele $P$ como função de $n \in \mathbb{R}^+$ por interpolação constante por partes. Calcule os limites laterais em $n = 2$ e em $n = 4$ .

Estratégia. Estenda $P$ para $n$ real por interpolação de degrau: a faixa $[1, 2]$ vale R$ 19,90 até $n = 2{,}999\ldots$ ; a faixa seguinte começa em $n = 3$ . Calcule os limites com a fórmula de cada faixa.

Resolução.

Em $n = 2$ :

$\lim_{n \to 2^-} P(n) = 19{,}90 \quad \text{(faixa } [1, 2]\text{)}, \qquad \lim_{n \to 2^+} P(n) = 34{,}90 \quad \text{(faixa seguinte)}.$

Como R$ 19,90 $\neq$ R$ 34,90, o limite bilateral em $n = 2$ não existe. O salto é R$ 15,00.

Em $n = 4$ :

$\lim_{n \to 4^-} P(n) = 34{,}90, \qquad \lim_{n \to 4^+} P(n) = 54{,}90.$

Como R$ 34,90 $\neq$ R$ 54,90, o limite bilateral em $n = 4$ não existe. O salto é R$ 20,00.

Interpretação. Cada fronteira de faixa é uma descontinuidade de salto. O cliente paga o mesmo preço para qualquer número de telas dentro da faixa — função constante por partes, com descontinuidades nos pontos de transição.

Verificação. O valor $P(2) = 19{,}90$ (definido pelo contrato) pode diferir do limite pela direita — ilustrando que $f(a)$ e $\lim_{x \to a^+} f(x)$ são objetos distintos.

Fonte. Active Calculus, §1.2, atividade 1.2.2 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 14Understanding 12Modeling 9Challenge 3Proof 2

Ex. 44.1ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.2ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ .
Ex. 44.3ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{1}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 44.4Application
Calcule $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 44.5Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}$ .
Solve online
Ex. 44.6Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \ln x$ .
Solve online
Ex. 44.7Application
Calcule $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.8ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.9Application
Seja $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}$ . Calcule $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ .
Solve online
Ex. 44.10Application
Seja $f$ como no exercício 44.9. Calcule $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ e determine se o limite bilateral existe.
Solve online
Ex. 44.11ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x$ .
Solve online
Ex. 44.12Application
Calcule $\lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x$ .
Solve online
Ex. 44.13Application
Determine se $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ existe.
Solve online
Ex. 44.14Application
Determine se $\lim_{x \to 2} \lfloor x \rfloor$ existe, onde $\lfloor x \rfloor$ é o maior inteiro $\leq x$ .
Solve online
Ex. 44.15UnderstandingAnswer key
Seja $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x^2 + 1 & x \geq 0 \end{cases}$ . O limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe? Justifique calculando os limites laterais.
Solve online
Ex. 44.16Understanding
Seja $f(x) = \begin{cases} 2x & x \leq 1 \\ x + 1 & x > 1 \end{cases}$ . O limite $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe?
Solve online
Ex. 44.17Understanding
Seja $f(x) = \begin{cases} \sin x / x & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ . Calcule $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Solve online
Ex. 44.18Understanding
Para qual valor de $a$ a função $f(x) = \begin{cases} ax & x < 1 \\ x^2 & x \geq 1 \end{cases}$ tem limite bilateral em $x = 1$ ?
Solve online
Ex. 44.19Understanding
Existe $\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ ?
Solve online
Ex. 44.20Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0^-} e^{1/x}$ e $\lim_{x \to 0^+} e^{1/x}$ . O limite bilateral existe?
Solve online
Ex. 44.21Understanding
Suponha que $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_1$ e $\lim_{x \to a^-} f(x) = L_2$ com $L_1 \neq L_2$ . O limite bilateral $\lim_{x \to a} f(x)$ existe?
Solve online
Ex. 44.22Understanding
Para qual valor de $a$ a função $f(x) = \begin{cases} 2x + a & x < 1 \\ x^2 + 4 & x \geq 1 \end{cases}$ tem limite bilateral em $x = 1$ ?
Solve online
Ex. 44.23Understanding
Seja $g(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & x < 0 \\ 2 - x & x = 0 \\ x^2 + 2 & x > 0 \end{cases}$ . O limite $\lim_{x \to 0} g(x)$ existe?
Solve online
Ex. 44.24UnderstandingAnswer key
Encontre $a$ e $b$ tais que $f(x) = \begin{cases} x^2 + a & x < -1 \\ bx + 3 & -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 + 1 & x > 1 \end{cases}$ tenha limite em $x = -1$ e em $x = 1$ .
Solve online
Ex. 44.25Understanding
Calcule $\lim_{x \to 0^-} e^{-1/x}$ e $\lim_{x \to 0^+} e^{-1/x}$ .
Solve online
Ex. 44.26UnderstandingAnswer key
Para qual valor de $a$ a função $f(x) = \begin{cases} 2x & x < 2 \\ ax & x \geq 2 \end{cases}$ tem limite bilateral em $x = 2$ ?
Solve online
Ex. 44.27ModelingAnswer key
Um plano de internet cobra R$ 29,90/mês para até 50 GB e R$ 39,90/mês para 50 a 100 GB. Modele o preço $P(n)$ como função da quantidade $n$ (GB). Existe $\lim_{n \to 50} P(n)$ ?
Solve online
Ex. 44.28Modeling
Em mecânica vibratória, a amplitude de uma oscilação amortecida é $A(t) = A_0 e^{-\gamma t} \cos(\omega t)$ , com $\gamma > 0$ . Calcule $\lim_{t \to +\infty} A(t)$ e interprete fisicamente.
Solve online
Ex. 44.29Modeling
A concentração plasmática de um fármaco segue $C(t) = C_0 e^{-kt}$ ( $k > 0$ ). Calcule $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ e interprete.
Solve online
Ex. 44.30Modeling
A tensão em um capacitor durante a carga é $V(t) = V_{\infty}(1 - e^{-t/RC})$ . Calcule $\lim_{t \to +\infty} V(t)$ e interprete.
Solve online
Ex. 44.31Modeling
A tabela do IRPF 2025 isenta rendimentos até R$ 2.824/mês (alíquota 0%) e aplica 7,5% na faixa seguinte. A alíquota marginal $t(r)$ é contínua em $r = 2.824$ ?
Solve online
Ex. 44.32Modeling
Uma tarifa de energia tem quatro faixas de preço (R$ 0,42 / R$ 0,58 / R$ 0,71 / R$ 0,85 por kWh). A função tarifa $t(c)$ é contínua nas fronteiras de faixa? Calcule os limites laterais em $c = 30$ kWh.
Solve online
Ex. 44.33Modeling
A distribuição de Boltzmann em física estatística é $p(E) \propto e^{-E/kT}$ ( $T > 0$ , $k > 0$ ). Calcule $\lim_{E \to +\infty} p(E)$ e interprete.
Solve online
Ex. 44.34Modeling
A função de distribuição acumulada $F_X(x) = P(X \leq x)$ é contínua à direita. Calcule os limites laterais $\lim_{x \to a^+} F_X(x)$ e $\lim_{x \to a^-} F_X(x)$ e determine o salto $F_X(a) - F_X(a^-)$ .
Solve online
Ex. 44.35Modeling
Um plano de streaming tem preços: 1–2 telas R$ 19,90; 3–4 telas R$ 34,90; 5 ou mais telas R$ 54,90. Calcule os limites laterais em $n = 2$ e $n = 4$ . Determine os saltos em cada ponto de transição.
Solve online
Ex. 44.36ChallengeAnswer key
Encontre $a$ e $b$ tais que $f(x) = \begin{cases} x^2 + a & x < -1 \\ bx + 3 & -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 + 1 & x > 1 \end{cases}$ tenha limite bilateral em $x = -1$ e em $x = 1$ .
Solve online
Ex. 44.37Challenge
Para qual valor de $a$ a função $f(x) = \begin{cases} 2x & x < 2 \\ ax & x \geq 2 \end{cases}$ tem limite bilateral em $x = 2$ ?
Solve online
Ex. 44.38Challenge
Demonstre formalmente (usando a definição épsilon-delta) que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ implica $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ .
Ex. 44.39Proof
Na demonstração de $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ via definição formal, qual é a escolha correta de $\delta$ dado $M > 0$ ?
Solve online
Ex. 44.40Proof
Demonstre formalmente (via definição épsilon-delta do limite lateral) que $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$ .

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang et al. · OpenStax · 2016 · §2.2 (The Limit of a Function), §2.4 (Continuity), §2.5 (Precise Definition) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária dos exercícios de leitura de gráficos e funções por partes.
APEX Calculus — Hartman et al. · §1.3 (Finding Limits Analytically), §1.4 (One-Sided and Infinite Limits) · CC-BY-NC 4.0. Fonte primária das demonstrações épsilon-delta e da determinação de constantes.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária das aplicações em tarifas, oscilações amortecidas e farmacocinética.