v1 · padrão canônico

Lição 51 — Derivada: definição via limite

Derivada como limite da taxa de variação média. Reta tangente. Diferenciabilidade implica continuidade, mas não vice-versa. Cálculo pela definição para funções elementares.

Used in: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II japonês (微分) · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis)

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e teoremas

Definição de derivada

"We say that a function $f$ is differentiable at $x = a$ whenever $f'(a)$ exists. […] The derivative measures the instantaneous rate of change of the function, as well as the slope of the tangent line to the function at the given point." — Boelkins, Active Calculus §1.3

"The derivative of a function $f(x)$ at a point $a$ in its domain, if it exists, is $f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.1

Notações equivalentes

f'(x) \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dy}{dx} \;=\; Df(x) \;=\; \dot{f}(x)

what this means · Todas as notações abaixo representam o mesmo objeto — a derivada de f. Leibniz (dy/dx), Lagrange (f'), Newton (f com ponto) e o operador D são as mais usadas.

A expressão $\frac{df}{dx}\Big|_{x=a}$ denota a derivada avaliada no ponto $a$ .

Da secante à tangente — geometria do limite

A reta secante (laranja) passa pelos pontos (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)). Conforme h → 0, a secante gira até coincidir com a reta tangente (dourada). A derivada é o coeficiente angular desse limite.

Reta tangente e reta normal

Sendo $f$ diferenciável em $a$ :

Reta tangente em $(a, f(a))$ : $\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)$
Reta normal em $(a, f(a))$ (perpendicular à tangente, se $f'(a) \neq 0$ ): $\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$

Teorema fundamental de diferenciabilidade

"If $f$ is differentiable at $a$ , then $f$ is continuous at $a$ . […] The converse is not true, and a function can be continuous but fail to be differentiable at a point." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Pontos de não-diferenciabilidade

Derivadas fundamentais via definição

Função $f(x)$	$f'(x)$
$c$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Derivada de $x^2$ pela definição

Problema: Use a definição de derivada para calcular $f'(x)$ sendo $f(x) = x^2$ .

Estratégia: Aplicamos diretamente $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e simplificamos algebricamente para eliminar $h$ do denominador antes de tomar o limite.

Resolução:

Calcule $f(a+h)$ : $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
Monte o quociente incremental: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}$
Cancele $h$ (válido pois $h \neq 0$ no processo limite): $\frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$
Tome o limite: $f'(a) = \lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$

Como $a$ é arbitrário, a função derivada é $f'(x) = 2x$ .

Verificação: Em $x = 3$ , $f'(3) = 6$ . A reta tangente passa por $(3, 9)$ com inclinação 6: $y = 6x - 9$ . Ponto de controle: $f(3{,}1) = 9{,}61$ e $y(3{,}1) = 6(3{,}1) - 9 = 9{,}6$ — a tangente aproxima bem o gráfico para $h$ pequeno. $\checkmark$

Fonte. Active Calculus, §1.3, Atividade 1.3.2 — licença CC-BY-SA 4.0.

Example— 2· Derivada de $1/x$ pela definição

Problema: Calcule $f'(a)$ para $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , com $a \neq 0$ , usando a definição.

Estratégia: O passo crítico é combinar as frações no numerador em fração única, o que permite cancelar $h$ do denominador.

Resolução:

Quociente incremental: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}$
Combine as frações no numerador (mínimo denominador comum $a(a+h)$ ): $= \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)}$
Cancele $h$ : $= \frac{-1}{a(a+h)}$
Tome o limite $h \to 0$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = -\frac{1}{a^2}$

Resultado: $(1/x)' = -1/x^2$ . Geometricamente: a hipérbole $y = 1/x$ tem tangente com inclinação negativa para todo $x \neq 0$ — a função é sempre decrescente nos semiplanos $x > 0$ e $x < 0$ .

Verificação: Em $a = 2$ : $f'(2) = -1/4$ . Reta tangente: $y - 1/2 = -\tfrac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y = -x/4 + 1$ . Em $x = 2{,}1$ : tangente dá $0{,}475$ ; $f(2{,}1) = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ . $\checkmark$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Exemplo 3.6 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Equação da reta tangente a $x^3$

Problema: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = x^3$ no ponto $x = 2$ .

Estratégia: A reta tangente tem equação $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Precisamos de $f(a)$ e $f'(a)$ .

Resolução:

Calcule $f(2) = 2^3 = 8$ . O ponto de tangência é $(2, 8)$ .
Calcule $f'(a)$ via definição: $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

$f'(a) = \lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$

Logo $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Equação da reta tangente: $y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

Verificação: Em $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = (2{,}1)^3 = 9{,}261$ ; tangente: $y = 12(2{,}1) - 16 = 9{,}2$ . Erro absoluto $0{,}061$ — cresce com $h^2$ como esperado para uma aproximação linear. $\checkmark$

Fonte. APEX Calculus, §2.1, Exemplo 2.1.3 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Não-diferenciabilidade: o bico do módulo

Problema: Investigue se $f(x) = |x|$ é diferenciável em $x = 0$ .

Estratégia: Calculamos as derivadas laterais $f'_-(0)$ e $f'_+(0)$ separadamente. Se diferirem, $f$ não é diferenciável em $0$ .

Resolução:

Derivada lateral direita ( $h \to 0^+$ , então $h > 0$ , logo $|h| = h$ ): $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
Derivada lateral esquerda ( $h \to 0^-$ , então $h < 0$ , logo $|h| = -h$ ): $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
Conclusão: $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ .

Como as derivadas laterais diferem, $f(x) = |x|$ não é diferenciável em $x = 0$ — existe um bico no gráfico. Note que $f$ é contínua em $0$ (pois $\lim_{x\to 0}|x| = 0 = |0|$ ), confirmando que continuidade não implica diferenciabilidade.

Verificação: O gráfico de $|x|$ tem inclinação $+1$ para $x > 0$ e $-1$ para $x < 0$ . Não existe única reta tangente em $x = 0$ . $\checkmark$

Fonte. Active Calculus, §1.7, Atividade 1.7.3 — licença CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Custo marginal — aplicação econômica

Problema: Uma empresa produz $q$ unidades de um produto com custo total $C(q) = q^2 + 30q + 500$ reais. Calcule o custo marginal em $q = 50$ unidades usando a definição de derivada e interprete o resultado.

Estratégia: Custo marginal = $C'(q)$ , a taxa de variação instantânea do custo em relação à quantidade. Calculamos pela definição e avaliamos em $q = 50$ .

Resolução:

Quociente incremental: $\frac{C(q+h) - C(q)}{h} = \frac{(q+h)^2 + 30(q+h) + 500 - (q^2 + 30q + 500)}{h}$

$= \frac{q^2 + 2qh + h^2 + 30q + 30h + 500 - q^2 - 30q - 500}{h} = \frac{2qh + h^2 + 30h}{h}$

$= 2q + h + 30$

Tome o limite: $C'(q) = \lim_{h \to 0}(2q + h + 30) = 2q + 30$
Avalie em $q = 50$ : $C'(50) = 2(50) + 30 = 130 \text{ reais}$

Interpretação: Ao produzir 50 unidades, cada unidade adicional custa aproximadamente R$ 130. Observe que $C(51) - C(50) = (2601 + 1530 + 500) - (2500 + 1500 + 500) = 4631 - 4500 = 131$ reais — o custo marginal subestima em R$ 1 (diferença de segunda ordem em $h$ ).

Verificação: $C'(q) = 2q + 30 > 0$ para todo $q > 0$ : custos crescentes, como esperado. Em $q = 0$ : $C'(0) = 30$ — custo marginal da primeira unidade é R$ 30. $\checkmark$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Exemplo aplicado — custo marginal — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2Proof 1

Ex. 51.1Application
Calcule $f'(3)$ para $f(x) = x^2$ usando a definição de derivada. (Resp: $6$ .)
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Ex. 51.2Application
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = x^3$ usando a definição. (Resp: $3a^2$ .)
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Ex. 51.3Application
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = c$ (constante real) pela definição. (Resp: $0$ .)
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Ex. 51.4ApplicationAnswer key
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = mx + b$ (função afim) pela definição. (Resp: $m$ .)
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Ex. 51.5Application
Calcule $f'(2)$ para $f(x) = 2x^2 + 3x$ via definição. (Resp: $11$ .)
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Ex. 51.6Application
Calcule $f'(1)$ para $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ via definição. (Resp: $-1$ .)
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Ex. 51.7Application
Calcule a função derivada $f'(x)$ para $f(x) = 2x^2 - x + 3$ via definição. (Resp: $4x - 1$ .)
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Ex. 51.8Application
Use a definição para calcular $f'(a)$ sendo $f(x) = x^4$ . (Resp: $4a^3$ .)
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Ex. 51.9ApplicationAnswer key
Calcule $f'(0)$ para $f(x) = x^2 - x$ via definição. (Resp: $-1$ .)
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Ex. 51.10ApplicationAnswer key
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = 2x^3 - 2x$ via definição. (Resp: $6a^2 - 2$ .)
Solve online
Ex. 51.11Application
Calcule $f'(2)$ para $f(x) = 1/x$ via definição. (Resp: $-1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.12ApplicationAnswer key
Calcule $f'(4)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ via definição. (Resp: $1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.13ApplicationAnswer key
Calcule $f'(1)$ para $f(x) = 1/x$ via definição e escreva a equação da reta tangente em $x = 1$ . (Resp: $f'(1) = -1$ ; tangente $y = -x + 2$ .)
Solve online
Ex. 51.14Application
Determine a equação da reta tangente a $y = x^2$ no ponto $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.15ApplicationAnswer key
Determine a equação da reta tangente a $y = 1/x$ no ponto $x = 1$ .
Solve online
Ex. 51.16Application
Para $f(x) = x^2 - 4x$ , em qual valor de $x$ a reta tangente é horizontal? Determine também o ponto do gráfico. (Resp: $x = 2$ ; ponto $(2, -4)$ .)
Solve online
Ex. 51.17Application
Calcule $f'(9)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ via definição. (Resp: $1/6$ .)
Solve online
Ex. 51.18Application
Calcule $f'(a)$ para $f(x) = 1/x^2$ via definição. (Resp: $-2/a^3$ .)
Solve online
Ex. 51.19Application
Equação da reta tangente a $y = x^3$ em $x = 2$ .
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Ex. 51.20ApplicationAnswer key
Determine a equação da reta normal a $y = x^2$ no ponto $x = 1$ . (Resp: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .)
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Ex. 51.21Understanding
A função $f(x) = |x|$ é diferenciável em $x = 0$ ? Justifique calculando as derivadas laterais.
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Ex. 51.22Understanding
A função $f(x) = x|x|$ é diferenciável em $x = 0$ ? (Resp: sim, $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.23Understanding
Analise $f(x) = \sqrt[3]{x}$ em $x = 0$ . O limite do quociente incremental existe? (Resp: $+\infty$ — tangente vertical.)
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Ex. 51.24UnderstandingAnswer key
Seja $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$ . É $f$ diferenciável em $x = 1$ ? Calcule as derivadas laterais. (Resp: não diferenciável; $f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1)$ .)
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Ex. 51.25Understanding
Seja $f(x) = x^2\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . Mostre que $f'(0) = 0$ . (Resp: use o teorema do confronto — $|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0$ .)
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Ex. 51.26Understanding
Seja $f(x) = x\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . A função é diferenciável em $x = 0$ ?
Solve online
Ex. 51.27Understanding
Seja $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$ . Calcule $f'(0)$ pelas derivadas laterais. (Resp: $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.28Understanding
Interprete geometricamente: o que significa $f'(a) > 0$ , $f'(a) < 0$ e $f'(a) = 0$ ?
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Ex. 51.29Understanding
Qual é a relação correta entre diferenciabilidade e continuidade?
Solve online
Ex. 51.30Understanding
Explique, com um exemplo numérico, por que a diferença central $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ é mais precisa numericamente que a diferença forward $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
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Ex. 51.31ModelingAnswer key
Um objeto se move com posição $s(t) = 2t^2$ metros. Qual é sua velocidade instantânea em $t = 2$ s?
Solve online
Ex. 51.32Modeling
Posição $s(t) = t^2 + 5t$ metros. Calcule a velocidade instantânea em $t = 3$ s pela definição de derivada. (Resp: $11$ m/s.)
Solve online
Ex. 51.33Modeling
Custo $C(q) = q^2 + 30q + 500$ reais. Qual o custo marginal em $q = 50$ unidades?
Solve online
Ex. 51.34Modeling
População $P(t) = 100 + 5t^2$ indivíduos. Calcule a taxa de crescimento em $t = 4$ anos pela definição de derivada. (Resp: $40$ indivíduos/ano.)
Solve online
Ex. 51.35Modeling
Em machine learning, a função de perda é $L(\theta) = (\theta - 3)^2$ . Calcule $L'(\theta)$ via definição e encontre o $\theta$ que minimiza $L$ . (Resp: $L'(\theta) = 2\theta - 6$ ; mínimo em $\theta = 3$ .)
Solve online
Ex. 51.36Modeling
Carga elétrica $q(t) = t^2 + 2t$ coulombs. A corrente $i(t) = q'(t)$ . Calcule $i(2)$ .
Solve online
Ex. 51.37Modeling
Volume de uma esfera $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Calcule a taxa de variação do volume em relação ao raio em $r = 2$ cm. (Resp: $16\pi$ cm³/cm. Bônus: relacione o resultado com a área da superfície.)
Solve online
Ex. 51.38Challenge
Determine $k$ tal que $f(x) = x^2 + kx$ tenha reta tangente horizontal no ponto $x = -3/2$ . (Resp: $k = 3$ .)
Solve online
Ex. 51.39ChallengeAnswer key
Prove que se $f$ é uma função par e diferenciável em $x = 0$ , então $f'(0) = 0$ . (Dica: use a definição das derivadas laterais e a propriedade $f(-x) = f(x)$ .)
Ex. 51.40Proof
Seja $h(x) = f(x) + g(x)$ , com $f$ e $g$ diferenciáveis em $a$ . Use a definição de derivada para demonstrar que $h'(a) = f'(a) + g'(a)$ (regra da soma).
Solve online

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Capítulos §1.1 (velocidade instantânea), §1.3 (derivada num ponto), §1.4 (derivada como função), §1.7 (limites, continuidade e diferenciabilidade). Fonte primária. Atividades guiadas sobre secante→tangente, interpretação gráfica e os bicos do módulo.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman, Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0. Capítulos §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Exercícios extensivos com cálculo pela definição e aplicações em física, economia e biologia.
APEX Calculus — Hartman et al. · 5.ª ed. · CC-BY-NC 4.0. Capítulo §2.1 (Instantaneous Rates of Change). Tratamento formal com exemplos de reta tangente e normal, tabela de derivadas fundamentais via definição.