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Lição 53 — Regra da cadeia

Derivada de função composta: se y = f(g(x)), então dy/dx = f'(g(x))·g'(x). A regra mais usada em todo o cálculo aplicado.

Used in: 2.º ano EM (16 anos) · Equiv. Math II/III japonês §微分 · Equiv. Klasse 11 alemã Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e teoria

Enunciado formal

"A regra da cadeia afirma que a derivada de $f(g(x))$ é $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Ou seja, derivamos a função externa $f$ , avaliada na função interna $g(x)$ , e multiplicamos pela derivada da função interna." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

"Pense no processo de fora para dentro: identifique a função externa, derive-a enquanto mantém a função interna inalterada, então multiplique pela derivada da função interna." — Boelkins, Active Calculus §2.5

Demonstração rigorosa

A dificuldade é que $g(x+h) - g(x)$ pode ser zero para $h \neq 0$ , invalidando o argumento ingênuo de cancelar $\Delta g$ . A solução usa a função auxiliar:

$Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}$

$Q$ é contínua em $g(a)$ (pela diferenciabilidade de $f$ ). Como $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , dividindo por $h$ e tomando $h \to 0$ obtemos $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Casos especiais fundamentais

Função composta	Derivada
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Tripla composição

Para $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

what this means · A regra da cadeia generaliza: multiplica-se a derivada de cada camada, sempre de fora para dentro.

Diagrama da composição

Fluxo da composição: entrada x, processada por g para gerar u, depois por f para gerar y. A taxa total dy/dx é o produto das taxas individuais.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Regra da potência generalizada — composição com polinômio

Problema: Calcule a derivada de $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Estratégia: A função $h$ é uma composição: a função de fora é $u^5$ e a função de dentro é $u = x^2 + 1$ . Aplicamos a regra da cadeia identificando explicitamente cada camada.

Resolução:

Identificar as camadas:
- Função de fora: $f(u) = u^5$
- Função de dentro: $g(x) = x^2 + 1$
Derivada da camada de fora: $f'(u) = 5u^4$ . Avaliada em $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Derivada da camada de dentro: $g'(x) = 2x$ .
Aplicar a cadeia: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Verificação: Para $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . A função tem mínimo em $x = 0$ (parábola deslocada elevada à 5.ª potência), o que é consistente com $h'(0) = 0$ .

Fonte. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regra da cadeia com exponencial e trigonometria

Problema: Calcule a derivada de $f(x) = e^{\sin x}$ .

Estratégia: Composição com a exponencial. A fórmula $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ é um caso especial direto da cadeia.

Resolução:

Camada de fora: $f(u) = e^u$ , derivada $e^u$ .
Camada de dentro: $g(x) = \sin x$ , derivada $\cos x$ .
Resultado: $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Interpretação: A derivada troca de sinal sempre que $\cos x = 0$ , ou seja, em $x = \pi/2 + k\pi$ . Nos máximos de $\sin x$ , a derivada se anula — pois $\cos(\pi/2) = 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regra da cadeia com logaritmo natural

Problema: Calcule a derivada de $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Estratégia: Composição com o logaritmo. A fórmula $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ é o caso especial direto.

Resolução:

Camada de fora: $f(u) = \ln u$ , derivada $1/u$ . Avaliada em $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Camada de dentro: $g(x) = 3x^2 + 5$ , derivada $g'(x) = 6x$ .
Resultado: $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Verificação: Para $x$ grande, $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . Faz sentido: o logaritmo cresce cada vez mais devagar.

Fonte. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Tripla composição — cadeia aninhada

Problema: Calcule a derivada de $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Estratégia: São três camadas aninhadas. Aplicamos a regra da cadeia de fora para dentro, uma camada por vez.

Resolução:

Escreva as camadas explicitamente:

Camada 1 (mais externa): $f_1(u) = \sin u$ , derivada $\cos u$
Camada 2 (intermediária): $f_2(v) = e^v$ , derivada $e^v$
Camada 3 (mais interna): $f_3(x) = x^2$ , derivada $2x$

Aplicando a regra da cadeia de fora para dentro:

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Verificação: Para $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Verificável numericamente: $h(0+0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Cadeia combinada com regra do produto

Problema: Calcule a derivada de $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Estratégia: É um produto de duas funções, uma delas composta. Aplicamos a regra do produto primeiro, depois a cadeia no segundo fator.

Resolução:

Identifique os dois fatores do produto:

$u(x) = x^2$ , derivada $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , derivada via cadeia: $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Aplicando a regra do produto $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

Fatorando $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Interpretação: Os pontos críticos são $x = 0$ e $x = \pm 1$ . Esta função aparece na distribuição normal: o fator $(1-x^2)$ determina os extremos em $x = \pm 1$ .

Fonte. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 53.1Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$ .
Solve online
Ex. 53.2ApplicationAnswer key
Calcule $(\sin(4x))'$ .
Ex. 53.3Application
Calcule $(e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.4Application
Calcule $(\ln(x^2 + 1))'$ .
Solve online
Ex. 53.5Application
Calcule $(\sqrt{x^2+1})'$ .
Solve online
Ex. 53.6Application
Calcule $(\cos^2 x)'$ .
Solve online
Ex. 53.7Application
Calcule $(\tan(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.8Application
Calcule $(\sin(\cos x))'$ .
Solve online
Ex. 53.9Application
Calcule $(e^{\sin x})'$ .
Solve online
Ex. 53.10Application
Calcule $((\ln x)^3)'$ .
Solve online
Ex. 53.11Application
Calcule $(\sqrt{1-x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.12Application
Calcule $\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$ .
Solve online
Ex. 53.13ApplicationAnswer key
Calcule $(2^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.14ApplicationAnswer key
Calcule $(\sin^3(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.15ApplicationAnswer key
Calcule $(\arctan(x^2))'$ . (Resp: $2x/(1+x^4)$ .)
Solve online
Ex. 53.16Application
Calcule $(\ln(\sin x))'$ .
Solve online
Ex. 53.17Application
Calcule $(e^{\cos(2x)})'$ .
Solve online
Ex. 53.18Application
Calcule $(\sqrt{\tan x})'$ .
Solve online
Ex. 53.19Application
Calcule $(\sin(\sqrt{x}))'$ .
Solve online
Ex. 53.20Application
Calcule $((3x+5)^{10})'$ .
Solve online
Ex. 53.21ApplicationAnswer key
Calcule $(\cos(3x^2+2))'$ .
Solve online
Ex. 53.22Application
Calcule $(\ln(\ln x))'$ .
Solve online
Ex. 53.23Application
Calcule $(x \cdot \sin(x^2))'$ .
Solve online
Ex. 53.24ApplicationAnswer key
Calcule $(x \cdot e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.25Application
Calcule $(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$ .
Solve online
Ex. 53.26ApplicationAnswer key
Calcule $(\tan^2(3x))'$ .
Solve online
Ex. 53.27Understanding
Encontre a reta tangente à curva $y = (x^2+1)^3$ no ponto $x = 1$ . (Resp: $y = 24x - 16$ .)
Solve online
Ex. 53.28Understanding
Análise de erro. Um estudante escreve $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$ . Qual o erro específico cometido?
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Ex. 53.29UnderstandingAnswer key
Conceitual. Para derivar $\sin(x^2)$ , qual regra se aplica? Por que não é a regra do produto?
Solve online
Ex. 53.30Understanding
Calcule $(e^{e^x})'$ .
Solve online
Ex. 53.31Modeling
Física. A posição de uma partícula em movimento harmônico é $s(t) = \sin(\omega t)$ . Calcule a aceleração $s''(t)$ e mostre que $s''(t) = -\omega^2 s(t)$ .
Solve online
Ex. 53.32Modeling
Física nuclear. O decaimento radioativo segue $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Calcule $N'(t)$ e mostre que $N'(t) = -\lambda N(t)$ .
Solve online
Ex. 53.33Modeling
Biologia. O crescimento logístico é $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$ . Calcule $P'(0)$ .
Solve online
Ex. 53.34Modeling
Estatística. Calcule $f'(x)$ para a densidade normal padrão $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .
Solve online
Ex. 53.35ModelingAnswer key
Finanças. O valor presente de um fluxo de caixa $S$ descontado a taxa $r$ é $V(t) = S\,e^{-rt}$ . Calcule $dV/dt$ e interprete o resultado.
Solve online
Ex. 53.36Modeling
Física. A energia cinética é $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$ e a velocidade é $v(t) = at$ . Calcule $dE/dt$ via regra da cadeia e confira com a derivada direta.
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Ex. 53.37Challenge
Calcule $(\sin(\cos(\sin x)))'$ .
Solve online
Ex. 53.38ChallengeAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$ .
Solve online
Ex. 53.39Challenge
Calcule $(\sin(e^{x^2}))'$ .
Solve online
Ex. 53.40Proof
Demonstração. Explique por que o argumento ingênuo $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$ falha como demonstração rigorosa da regra da cadeia. Como a função auxiliar $Q(y)$ resolve o problema?
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Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Fonte primária. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.