Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

Determine a concavidade de $f(x) = x^2$ em todo $\mathbb{R}$. Há inflexão?

Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3$.

Concavidade de $f(x) = x^4$. Há inflexão em $x = 0$? Justifique com o sinal de $f''$.

Concavidade de $f(x) = e^x$ em todo $\mathbb{R}$. Há inflexão?

Concavidade de $f(x) = \ln x$ em $(0, \infty)$.

Concavidade de $f(x) = \sin x$ em $[0, 2\pi]$. Identifique os pontos de inflexão.

Concavidade de $f(x) = \cos x$ em $[0, 2\pi]$. Pontos de inflexão.

Concavidade de $f(x) = 1/x$ nos intervalos $(0,\infty)$ e $(-\infty,0)$.

Concavidade de $f(x) = e^{-x^2/2}$ (gaussiana). Identifique os pontos de inflexão.

Concavidade e inflexão de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Use o teste de $f''$: classifique os extremos de $f(x) = x^3 - 12x$.

Extremos de $f(x) = x^4 - 4x^2$ via teste de $f''$.

Extremos de $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$.

Extremos de $f(x) = x^2 \ln x$ em $(0, \infty)$ via $f''$.

Extremos de $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ em $[0, 2\pi]$.

Mostre que $f(x) = x^4$ tem mínimo em $x = 0$ apesar de $f''(0) = 0$ (teste inconclusivo).

Mostre que $f(x) = x^5$ não tem extremo em $x = 0$ apesar de $f'(0) = 0$.

Para $f(x) = x^2 + 1/x$ em $x > 0$: ache o mínimo e justifique com $f''$.

Extremos de $f(x) = \ln x / x$ em $(0, \infty)$ via $f''$.

Extremos de $f(x) = x^{1/x}$ em $(0, \infty)$ (tome $\ln f$ antes de derivar).

Custo $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$. Ache a inflexão e interprete como mudança de retorno marginal.

Lucro $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$. Maximize via $\pi'$ e confirme com $\pi''$.

Curva logística $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$. Mostre que há inflexão em $P = K/2$ (metade da capacidade de suporte).

Energia potencial $U(x) = -\cos x$ (pêndulo). Encontre equilíbrios estáveis e instáveis usando $U''$.

Mola harmônica: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Mostre que $x = 0$ é equilíbrio estável usando $U''$.

Entropia de Bernoulli $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$. Mostre $H'' < 0$ e que o máximo é em $p = 1/2$.

Curva de aprendizagem $L(t) = 1 - e^{-kt}$. Determine a concavidade. O que ela diz sobre a velocidade de aprendizado?

Numa epidemia, o pico de novos casos ocorre no ponto de inflexão da curva de casos acumulados $f(t)$. Justifique geometricamente e via $f''$.

Utilidade $U(W) = \ln W$ é côncava. Explique como a desigualdade de Jensen implica aversão ao risco para esse investidor.

Por que a função de perda da regressão linear tem um único mínimo global? Use convexidade para justificar.

Qual é a condição correta para que $x_0$ seja ponto de inflexão de $f$?

Prove que a soma de duas funções convexas é convexa, usando a definição via $f''$.

Mostre que $f$ convexa em $I$ implica desigualdade do ponto médio: $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Por que $f''(x_0) = 0$ não é suficiente para garantir inflexão? Dê um contraexemplo concreto.

Mostre que $\ln$ é côncava em $(0,\infty)$ e use isso para provar a desigualdade AM-GM: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ para $x, y > 0$.

Função de Huber $L(x) = x^2/2$ se $|x| \leq 1$; $|x| - 1/2$ caso contrário. É convexa? Onde $L''$ é descontínua?

Demonstre o teste da segunda derivada via polinômio de Taylor de ordem 2.

Demonstre a desigualdade de Jensen para dois pontos: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — diretamente da definição de convexidade.

Demonstre que toda função convexa em intervalo aberto é contínua no interior.

Demonstre que $f$ é convexa se e somente se o gráfico fica sempre acima de qualquer tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ para todo $x, y$.