Lição 67 — Análise marginal em economia

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$. Calcule $MC(q)$.

$C(q) = 200 + 3q + q^2/100$. Calcule custo médio e custo marginal em $q = 50$.

$R(q) = 100q - 2q^2$. Calcule a receita marginal $MR(q)$.

Demanda $p = 50 - q/2$. Escreva $R(q) = pq$ e calcule $MR(q)$.

$C(q) = q^2 + 9$. Encontre o mínimo de $\bar{C}$ e confirme que coincide com $MC = \bar{C}$.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 100$. Custo médio e custo marginal em $q = 10$.

Mostre que $\bar{C}$ tem mínimo onde $MC = \bar{C}$ para $C(q) = q^2 + 16$.

$C(q) = 50 + 10q$. Por que $\bar{C}$ não tem mínimo interior? Interprete economicamente.

Empresa produz com $C(q) = q^2$ e vende a $p = 100$ (concorrência). Quantidade ótima.

$R(q) = 200q - q^2$, $C(q) = 50 + 80q$. Quantidade de lucro máximo.

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$, preço fixo $p = 50$. Quantidade e lucro ótimos.

Empresa monopolista com demanda $p = 100/q$ (elasticidade unitária em todo ponto). Existe $q^*$ de lucro máximo? Por quê?

$p = 100 - q$, $C(q) = q^2/2 + 10q$. Lucro máximo de monopólio.

$p = 60 - 2q$, $C(q) = 200 + 4q + q^2$. Encontre $q^*$, $p^*$ e $\pi^*$.

Concorrência perfeita: $p = 50$ fixo, $C(q) = q^2$. Quantidade e lucro ótimos.

EOQ: $T(q) = Dhq/2 + SD/q$ (custo total de estoque). Derive e ache $q^* = \sqrt{2SD/h}$.

Imposto $t$ por unidade muda $C \to C + tq$. Como muda $q^*$? Mostre que $q^*$ cai.

Subsídio $s$ por unidade vendida. Mostre que $q^*$ aumenta em relação ao caso sem subsídio.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 12q + 50$. Mostre que existe $q$ tal que $MC$ é mínimo (ponto de inflexão de $C$).

$C(q) = q^2 + F$. Encontre a quantidade que minimiza $\bar{C}$ e mostre que cresce com $\sqrt{F}$.

Derive a regra do markup do monopólio: partindo de $MR = MC$ e $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$, obtenha $p^* = MC\cdot\varepsilon/(\varepsilon + 1)$.

Derive formalmente que o lucro é máximo onde $MR = MC$, e que a condição de segunda ordem exige $MR' < MC'$.

Demanda $q = 100 - 2p$. Calcule a elasticidade em $p = 25$.

$q = 50/p$. Calcule a elasticidade em qualquer $p$. O resultado é constante?

$q = 100 e^{-p}$. Elasticidade em $p = 1$.

Demanda Cobb-Douglas $q = Ap^\alpha$. Calcule a elasticidade e mostre que é constante.

Em qual preço a receita total é máxima? Mostre que é onde $\varepsilon = -1$.

Cigarro: $\varepsilon = -0{,}5$. Imposto sobe preço 20%. Quanto cai o consumo?

Gasolina: $\varepsilon = -0{,}3$ (curto prazo). Por que política de subsídio tem alto custo fiscal para baixo ganho em quantidade?

Demanda linear $q = a - bp$. Mostre que $|\varepsilon|$ cresce com $p$.

Derive $dR/dp = q(1 + \varepsilon)$ e use para explicar quando subir preço aumenta ou reduz receita.

Com inflação de custos (IPCA subindo 5,8%), empresa com demanda de elasticidade $|\varepsilon| = 1{,}2$ deve repassar quanto ao preço? Use a regra do markup.

Por que o monopolista produz menos que a concorrência perfeita?

Mostre que $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$ partindo de $R = pq$ e da regra da cadeia.

Markup percentual: índice de Lerner $L = (p-MC)/p = -1/\varepsilon$. Verifique partindo de $MR = MC$.

Demonstre que $\bar{C}$ tem mínimo onde $MC = \bar{C}$, derivando $\bar{C}(q) = C(q)/q$.

Incidência tributária: com imposto $t$ por unidade, a parte paga pelo comprador é $\varepsilon_S / (\varepsilon_S - \varepsilon_D)$. Demonstre.

Demonstre a regra do markup $p^* = MC\varepsilon/(\varepsilon+1)$ partindo de $MR = MC$.

Mostre que em discriminação de preços de primeiro grau (preço perfeito), o monopolista extrai todo o excedente do consumidor e produz a quantidade eficiente ($p = MC$).

Explique como o delta de Black-Scholes $\Delta = \partial V/\partial S$ é análogo a uma quantidade marginal, e como o argumento de portfólio replicante deriva a equação de Black-Scholes via análise marginal.