Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

$s(t) = 2t^2 - 6t$です。$v(t)$と$a(t)$を計算してください。

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$です。いつ$v = 0$ですか？各瞬間に、物体は加速していますか、それとも減速していますか？

$s(t) = 100 - 5t^2$（自由落下、$g = 10$ m/s²）。いつ地面に当たりますか？その瞬間の速度は。

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$です。$t = 2$での速度と加速度。

$s(t) = e^{-t}\sin t$です。$v(t)$と$a(t)$を計算してください。振幅減衰は何を明かしていますか？

$s(t) = 10\sin(2t)$です。$A$、$\omega$、周期$T$を特定してください。$v(t)$を書き出してください。

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$です。$[0, 3]$での最大速度。

$s(t) = \ln(1 + t^2)$です。$v(t)$を計算して、$t = 1$で評価してください。

$s(t) = t^2 - 4t$です。$t = 0$と$t = 4$間の移動距離（注意：$v$は符号変わり）。

$s(t) = A\cos(\omega t)$です。ジャーク$j(t) = s'''(t)$を計算してください。

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$です。速度はいつゼロですか？方向反転がありますか？

$s(t) = \sin(t^2)$です。$v(t)$を計算してください（連鎖律）そして$t = \sqrt{\pi}$で評価してください。

ボールは地面から$v_0 = 20$ m/sで上へ投げられます。最大高さ（$g = 10$ m/s²）。

自動車は$v_0 = 30$ m/sで$a = -5$ m/s²で均等に制動します。停止距離（トリチェリ）。

飛行機は静止から始まり、1000 m走路後$v_f = 80$ m/sで離陸します。平均加速度および走行時間。

石は$h = 80$ mから落ちます。落下時間と衝撃時の速さ（$g = 10$ m/s²）。

自動車は0→100 km/hを10.5秒で加速します。平均加速度と加速中の移動距離。

斜発射：$v_0 = 50$ m/s水平から30°。水平飛距離（$g = 10$ m/s²）。

ロケット：$a(t) = 30 - 0.5t$ m/s²は$t = 60$ sまで（エンジン停止）。エンジン停止時の速度と位置。

列車は均等に制動し、200 mを20秒で走行して停止します。$v_0$は何でしたか？

ボールは50 m塔の頂上から$v_0 = 20$ m/sで上へ投げられます。地面に当たるまでの時間。

質量$m = 1$ kgの物体は抵抗$b = 0.2$ kg/sで落下します。終端速度（$g = 10$ m/s²）。

バネ・質量：$m = 1$ kg、$k = 100$ N/m。角周波数$\omega$、周期$T$、周波数$f$。

$x(t) = 0.1\cos(2\pi t)$です。振幅、周期、$v(t)$、最大速度。

長さ$L = 1$ mの振り子。角周波数$\omega = \sqrt{g/L}$と周期（$g = 10$ m/s²）。

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$が微分方程式$\ddot{x} + \omega^2 x = 0$を満たすことを確認してください。

MHS：$E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$です。$E$が時間で導関数を求めることで定数であることを示してください。

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$（減衰振動子）。見かけの周波数と振幅の振る舞い。

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$と$v(t)$の間の位相差。90°を確認してください。

MHSで$a(t)$と$x(t)$が180°ずれていることを示してください。つまり、$a = -\omega^2 x$。

ボールが上へ投げられます。最高点での加速度は：

なぜ平均速度（$\Delta s/\Delta t$）が一般的に速度の平均と異なるかを説明してください。数値例を与えてください。

速度（1D符号付きベクトル量）と速さ（スカラー）の違いを説明してください。なぜ$v < 0$が可能か？

円運動：$\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$です。$\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$と$|\vec{a}| = R\omega^2$を示してください。

発射体は$v_0$と角度$\theta$で発射されます。飛距離の公式$R = v_0^2\sin(2\theta)/g$を導き出し、最適角度を求めてください。

自動車：1時間60 km/h、次に1時間120 km/h。時間当たりの平均速度？等距離走行当たりの平均速度？

二次抵抗での落下：$m\dot{v} = -mg - bv^2$です。終端速度と$v(t)$の解析解（変数分離で）。

ヘリックス：$\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$です。$\vec{v}$、$|\vec{v}|$、$\vec{a}$を計算してください。

MUV方程式からトリチェリ方程式$v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$を導き出してください。時間$t$を消去します。

MHSで運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの時間平均が$\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$を使用して各々$E/2$に等しいことを示してください。