Lição 73 — Quartis, percentis e boxplot

データ：1, 3, 5, 7, 9。中央値、$Q_1$、$Q_3$ を計算してください。

データ：2, 4, 6, 8, 10, 12。5 数要約を計算してください。

成績：4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10。$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$ を計算してください。

データの IQR を計算してください：12, 14, 18, 22, 25, 28, 32。

年齢：18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 35, 60。1.5 IQR 規則を適用してください。外れ値はありますか？

給与（ブラジル・レアル千）：2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 50。中央値と IQR を計算してください。

$n = 100$ の並べたデータについて、線形補間法で $Q_3$ の位置は何ですか？

時間（秒）：10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 100。Tukey の限界を計算し、外れ値を特定してください。

重量（kg）：60, 62, 64, 65, 65, 67, 70, 72, 75, 80。箱ひげ図の全要素を記述してください。

$Z \sim \mathcal N(0,1)$ について、$Q_3 - Q_1 = ?$

$IQR = 6{,}7$ のデータ。堅牢推定量 $\hat\sigma = IQR/1{,}349$ を使って $\hat\sigma$ を計算してください。

1000 の正規観測値のサンプルで $Q_3 + 3 \cdot IQR$ より上にいくつポイントを期待しますか？

箱ひげ図 A：狭い箱、中央値が中央。箱ひげ図 B：広い箱、中央値が $Q_1$ に近い。2 つのセットの分散と非対称性を比較してください。

右に長い尾を持つ分布。平均は中央値に対してどこにありますか？

セット A の $IQR = 5$、セット B の $IQR = 20$。どちらが中央データで分散が多いですか？

$A = B = 50$ の中央値。$A$ の $Q_3 = 55$、$B$ の $Q_3 = 80$。どちらが右に非対称分布ですか？

企業の給与の $P_{90}$ = 30 ブラジル・レアル千。この情報を解釈してください。

学生が ENEM の $P_{85}$ にいます。何を意味しますか？

$Q_1 = Q_2 = Q_3$ の場合、データについて何が言えますか？

「1.5 IQR 規則は正規データで 5% をたるべて外れ値として標識する」は正確ですか？

年齢（年）：40, 52, 55, 58, 62, 66, 72。5 数要約を計算し、外れ値を確認してください。

10 人の生徒の成績：3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10。完全な箱ひげ図（外れ値確認付き）。

100 人のクラス：$Q_1 = 5$、$Q_3 = 8$。生徒が 9.5 を取得 — 上位 25% ですか？

IBGE がブラジルの不平等報告でなぜ中央値のみでなく平均ではなく、中央値を公表するのですか？

製造部品の直径：$Q_1 = 9{,}98$ mm、$Q_3 = 10{,}02$ mm。仕様：$10{,}00 \pm 0{,}05$ mm。プロセスは中央化されていますか？顕著な拒否リスクはありますか？

サイトの A/B テスト：バリアント A は中央値 1.2 s、$IQR = 0{,}3$；バリアント B は中央値 1.1 s、$IQR = 1{,}5$。本番環境で起動するのはどちらを推奨しますか？分散統計を使って正当化してください。

金融取引で詐欺に見える外れ値を検出しています。データを分析する前に削除すべきですか？統計議論で正当化してください。

応答時間（ms）：120, 130, 135, 140, 142, 145, 148, 150, 155, 380。5 数要約を計算し、四分位数に基づき、SLA 200 ms を満たすシステムを評価してください。

4 つの病棟がある病院。入院時間（日）：A：5, 8, 9, 10, 12；B：3, 4, 4, 5, 20；C：7, 8, 8, 9, 10；D：2, 3, 15, 18, 25。5 数要約を構築し、どの病棟がベッド管理で最も予測可能か特定してください。

学校別 ENEM 成績。学校 A：中央値 650、$IQR = 80$。学校 B：中央値 620、$IQR = 200$。どちらが均一パフォーマンス？各パターンはどんな教育政策を示唆？

サンパウロの月降水平均（mm）：234, 181, 130, 83, 68, 52, 44, 47, 82, 122, 145, 201。5 数要約を計算し、季節性を解釈してください。

近所の不動産価格（ブラジル・レアル千）：250, 280, 310, 320, 340, 350, 380, 390, 420, 1800。中央値と平均を計算してください。なぜ購入者は中央値を一般的価格の参照として使うべきですか？

自分の言葉で、なぜ中央値と IQR は「堅牢」で、平均と標準偏差は堅牢でないかを説明してください。具体例を使ってください。

箱ひげ図が二峰分布を隠すことができますか？一峰分布と同じ箱ひげ図を持つ二峰分布の具体例を構築してください。

$X \sim \text{Uniform}(0, 1)$ の場合、$IQR$ は：

解析的に $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$ の IQR を計算してください。$\lambda$ の関数として表現してください。

IQR の崩壊点が 25%、中央値が 50%、平均が 0% である理由を議論してください。

証明：$X$ が $\mu$ を中心に対称な密度を持つ連続確率変数なら、$\mu$ は $X$ の中央値です。

$n \to \infty$ と Uniform(0,1) の iid サンプルについて、$Q_1$ の標本推定量が 0.25 に収束することを示してください。順序統計量のプロパティを使ってください。

中央値が $E[|X - c|]$ をすべての $c \in \mathbb{R}$ で最小化することを証明してください。