Lição 74 — Variável aleatória discreta

$X$ は値 1、2、3 を確率 0,2、0,5、0,3 で仮定します。$E[X]$ を計算してください。

前の練習問題と同じ $X$。$E[X^2]$ を計算してください。

同じ $X$。$\text{Var}(X)$ を計算してください。

正直なサイコロ（$X \in \{1,2,3,4,5,6\}$、 $p = 1/6$）。$E[X]$ と $\text{Var}(X)$ を計算してください。

正直なコイン： 表なら $X = 1$、裏なら $X = 0$。$E[X]$ と $\text{Var}(X)$ を計算してください。

2つの正直なサイコロの合計 $S = X_1 + X_2$。$E[S]$ を計算してください。

2つの独立なサイコロの合計 $S = X_1 + X_2$。$\text{Var}(S)$ を計算してください。

$X$ は $\{1, 2, \ldots, n\}$ で一様です。$E[X]$ を $n$ の関数として計算してください。

$P(X = k) = c \cdot k$ （$k \in \{1, 2, 3, 4\}$）。$c$ を見つけて、$E[X]$ を計算してください。

$P(X = k) = (1/2)^k$ （$k = 1, 2, \ldots$）。これが有効なPMFであることを確認し、$E[X]$ を計算してください。

ロッタリー：確率 $10^{-7}$ で100万ブラジル・レアル を勝ち、各チケットのコストは5ブラジル・レアル 。チケットあたりの $E[\text{利益}]$ を計算してください。購入する価値はありますか？

賭け：確率 0,4 で100ブラジル・レアル を勝ち、確率 0,6 で60ブラジル・レアル を負けます。$E[X]$ を計算してください。

$E[X] = 5$、 $E[Y] = 3$。$E[2X + 3Y - 1]$ を計算してください。

$X$ は $E[X] = 4$ と $\text{Var}(X) = 9$ を持ちます。$E[X^2 + 1]$ を計算してください。

100個の独立なサイコロ。合計の期待値。

100個の独立なサイコロ。合計の分散。

$X \in \{0, 1, 2\}$ （確率 0,3、0,5、0,2）。$E[X^2]$ を計算してください。

同じ $X$。線形性経由で $E[3X + 2]$ を計算してください。

同じ $X$。LOTUS 経由で $E[(X-1)^2]$ を計算してください。

置き換えなしでカードデッキから5枚を引きます。インジケータと線形性を使用して、エースの数の期待値を計算してください。

$n$ 人の間で、同じ誕生日を共有するペアの数の期待値。インジケータを使用してください。

甕に赤いボール5個と青いボール15個が入っています。置き換えなしで10個をサンプルします。赤いボールの数の期待値。

保険：10万ブラジル・レアル を支払う1%の確率。保険的に正当な保険料はいくらですか？

ヨーロッパンルーレット（37個のポケット）：1ブラジル・レアル を1つの数字に賭け、35対1の支払い。1ラウンドあたり $E[X]$ を計算してください。

電子商取引：訪問者の10%が購入、平均チケット200ブラジル・レアル 。1.000人の訪問者あたりの期待収益を計算してください。

95%精度のMLモデル。各エラーは50ブラジル・レアル のコストがかかります。1.000分類での総期待コスト。

生産ライン：部品の2%に欠陥があります。50個のロット。欠陥部品の数の期待値と分散。

コールセンター：オペレータが1、2、または3の顧客/分に対応 （確率 0,2、0,5、0,3）。1時間あたりの対応の期待値。

正直なコインを表が出るまで投げます。投げの数の期待値。

サーバーは平均5リクエスト/秒を受け取ります（ポアソン）。1分間のリクエスト数の期待値。

自営業労働者：1.500ブラジル・レアル を月給の30%、1.000ブラジル・レアル を70%受け取ります。簡略化されたINSS税率：月給に対して7,5%。月間期待寄付を計算してください。

投資基金：月間収益 +2% （確率 0,6）または -1% （確率 0,4）。月間期待収益と分散を計算してください。

3つのサプライヤーを持つ店舗：A （注文の40%、3日）、B （35%、5日）、C （25%、7日）。平均配達時間と分散を計算してください。

ランダムキャッシュバック付きカード：購入の20%で5ブラジル・レアル 、それ以外は0ブラジル・レアル 。月間50回の購入で、月間期待キャッシュバックと標準偏差を計算してください。

LOTUS はなぜ機能しますか？ 数式を使わずに2～3行で説明してください。

期待値の線形性 $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ が、$X$ と $Y$ が依存している場合でも成立するのはなぜですか？

$E[X] = 0$ と $\text{Var}(X) = 1$ を満たす、わずか2つの値を持つ離散確率変数を構築してください。

定義 $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ から恒等式 $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ を証明してください。

$X, Y$ が離散で独立な場合、$E[XY] = E[X]\,E[Y]$ であることを証明してください。

マルコフ不等式（$X \geq 0$ のとき $P(X \geq a) \leq E[X]/a$）とチェビシェフ不等式（$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$）を証明してください。