Lição 75 — Distribuição binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$。$P(X = 3)$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$。$P(X = 0)$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$。$P(X = 2)$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$。補事象を使って $P(X \geq 1)$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$。$k = 0, 1, 2, 3, 4$ のPMFの完全な表を作成してください。

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$。$E[X]$ および $\text{Var}(X)$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$。$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ を計算してください。

10枚のコインを投げます。$P(\text{正確に5枚が表})$ を計算してください。

10枚のコインを投げます。$P(\text{8枚以上が表})$ を計算してください。

サイコロを6回投げます。$P(\text{正確に2つの6})$ を計算してください。

サイコロを6回投げます。$P(\text{6が出ない})$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(n, p)$ に対して、$n$ と $p$ の関数として $P(X = 0) + P(X = n)$ を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(n, p)$ に対して、$P(X = k)/P(X = k-1)$ の比を $n$、$p$、$k$ の関数として導出してください。

$\text{Bin}(n, p)$ の最頻値が $\lfloor (n+1)p \rfloor$ であることを示してください。$\text{Bin}(10, 0{,}3)$ の最頻値を計算してください。

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$。連続性補正を使用して $P(X \leq 25)$ を正規分布で近似してください。

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$。$P(X = 0)$ にポアソン近似を使用してください。

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$。連続性補正付きで正規分布を使用して $P(X \geq 30)$ を近似してください。

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ および $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ が独立です。$X_1 + X_2$ の分布は何ですか？

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$。ポアソン近似を使って $P(X = 0)$、$P(X = 1)$、$P(X = 2)$ を計算してください。

選挙：$p = 0{,}52$、$n = 1000$。$P(\hat p < 0{,}50)$ を近似してください — 調査が指導者を誤るリスク。

$X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$ に対して、正規近似が良好と見なされる最小 $n$ は何ですか？正当化してください。

$n$ 固定で、$\text{Bin}(n, p)$ の分散が $p = 0{,}5$ で最大化されることを示してください。

90%リコールのスパムフィルター。500件の実スパムで、$P(\text{マーク} \geq 470)$。

なぜ公式 $\text{Var}(X) = np(1-p)$ はベルヌーイ変数への分解によって導出できますか？

生産ライン：3%が不良。ロットサイズ50。$P(\text{3個以上不良})$ を計算してください。

ワクチン：有効率85%。100人接種で、$P(\geq 90 \text{ が保護})$ を正規近似で計算してください。

A/Bテスト：バリアントA、100人訪問者、14人購入。バリアントB、100人、22人購入。比率差のz検定のp値を計算してください。

選挙調査：$n = 1500$、95%信頼度で誤差限度 $\pm 2{,}5\%$ が望ましい。サンプルサイズは十分ですか？

遺伝学：交配 $Aa \times Aa$、各子孫が $AA$ である確率 $1/4$。8人の子で、$P(\text{正確に2人が } AA)$。

コールセンター：通話の5%が失敗。200通話で、障害の期待値と $\sigma$ を計算してください。

シックスシグマ（1.5σ調整付き）：3.4ppmレート。100万部品で、ポアソン近似で $P(0 \text{ 欠陥})$ と $E[\text{欠陥}]$ を使用してください。

ベット：R$100獲得30$25。20回で総期待利益はいくらですか？

リード成約率：1%。月平均5件の取引を成立させるために、何件のリードを生成する必要がありますか？

ENEM：60%が小論文で最低点を達成。20人のクラスで、$E[X]$、$\sigma$、$P(X \geq 15)$ を計算してください。

赤い玉30%の壺。50回抽出復元あり。なぜ二項分布が適用されますか？$E[X]$ と $P(X = 15)$ を計算してください。

公務員試験：8%合格率。30人クラス。$E[\text{合格者}]$ と $P(\text{少なくとも1人合格})$ を計算してください。

なぜ二項分布は復元なし抽出に適用されないのですか？二項分布を使うと誤った答えを与える数値反例を与えてください。

二項分布と超幾何分布の根本的な違いは何ですか？

$X = Y_1 + \cdots + Y_n$ のベルヌーイ変数分解を通じて $E[X] = np$ と $\text{Var}(X) = np(1-p)$ を証明してください。

ポアソン極限を証明：$\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ when $n \to \infty$ with $\lambda$ fixed.

二項定理を使用して $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ を証明してください。

加法性を証明：$X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ と $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ が独立（同じ$p$）なら、$X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$。