v1 · padrão canônico

강 1 — 수의 집합, 구간, 기호법

엄격한 수학 언어: 수의 집합(ℕ, ℤ, ℚ, ℝ), 구간, 집합 연산. 커리큘럼 시작 수업.

Used in: 고등학교 1학년(15세) · 일본식 수학 I 동등 · 독일식 10학년

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

엄격한 정의

기본 수의 집합

"모든 실수는 수직선 위의 유일한 위치에 대응됩니다. 역도 참입니다: 수직선 위의 각 위치는 정확히 하나의 실수에 대응됩니다." — OpenStax 대수학 2e, §1.1

구간

집합 연산

해결된 예제

Example— 1· 집합의 원소 나열(응용)

문제: 집합 $A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \leq 3\}$ 의 원소를 괄호 표기법으로 나열하세요.

전략: 문제는 집합의 원소를 나열하도록 요청합니다. 집합 표기법은 두 가지 정보를 제공합니다:

원소가 속한 수의 집합: $\mathbb{Z}$ (정수).
이 원소들이 만족해야 할 조건: $-2 < x \leq 3$ . 이 정보를 결합하여 맞는 모든 정수를 식별할 것입니다.

풀이:

숫자의 종류 식별: 원소 $x$ 는 정수( $\mathbb{Z}$ )여야 합니다.
첫 번째 조건 분석: $x > -2$ . 이는 $x$ 가 $-2$ 보다 커야 함을 의미합니다. 이 부분을 만족하는 정수는 $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ 입니다.
두 번째 조건 분석: $x \leq 3$ . 이는 $x$ 가 3보다 작거나 같아야 함을 의미합니다. 이 부분을 만족하는 정수는 $\ldots, 1, 2, 3$ 입니다.
조건 결합: 정수 $x$ $x$ 가 동시에 $-2$ $- 2$ 보다 크고 3보다 작거나 같아야 합니다.
- $-2$ 보다 큰 정수: $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$
- 3보다 작거나 같은 정수: $\{\ldots, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- 이 두 집합의 교집합은 $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ 입니다.

검증: 나열된 모든 숫자는 정수입니다.

$-1$ 은 $-2$ 보다 크고 3보다 작거나 같습니다. (OK)
$0$ 은 $-2$ 보다 크고 3보다 작거나 같습니다. (OK)
$1$ 은 $-2$ 보다 크고 3보다 작거나 같습니다. (OK)
$2$ 는 $-2$ 보다 크고 3보다 작거나 같습니다. (OK)
$3$ 은 $-2$ 보다 크고 3보다 작거나 같습니다. (OK) $-2$ 와 3 사이의 다른 정수는 빠지지 않았습니다( $-2$ 제외, 3 포함).

출처. OpenStax — 대수학 2e §1.1 — CC-BY 4.0 라이선스.

Example— 2· 구간의 교집합(중급)

문제: 구간 $A = [-3, 7)$ 과 $B = (1, 10]$ 이 주어졌을 때, $A \cap B$ 를 계산하세요.

전략: 두 집합의 교집합은 두 집합 모두에 속하는 원소만 포함합니다. 다시, 수직선 시각화가 가장 효과적인 도구입니다.

풀이:

구간 $A$ 시각화: $A = [-3, 7)$ $A = [- 3, 7)$ 는 -3(포함)에서 7(제외)까지입니다.
```
←—————[----------)————→
     -3          7
```
구간 $B$ 시각화: $B = (1, 10]$ $B = (1, 10]$ 는 1(제외)에서 10(포함)까지입니다.
```
←——————————(----------]————→
           1          10
```
교집합을 위해 결합: 두 구간이 겹치는 곳을 찾아야 합니다.
- 두 구간이 모두 있는 가장 왼쪽 점: 1. 하지만 1은 $B$ 에서 제외되므로 교집합에서도 제외됩니다.
- 두 구간이 모두 있는 가장 오른쪽 점: 7. 하지만 7은 $A$ 에서 제외되므로 교집합에서도 제외됩니다.
- 겹치는 영역은 1(제외)과 7(제외) 사이입니다.

$A \cap B = (1, 7)$

검증:

교집합의 한 점: $x=3$ . $A$ 에는 있습니다( $-3 \leq 3 < 7$ )와 $B$ 에도 있습니다( $1 < 3 \leq 10$ ). (OK)
$A$ 에만 있는 점: $x=-2$ . $B$ 에는 없습니다. (OK)
$B$ 에만 있는 점: $x=8$ . $A$ 에는 없습니다. (OK)
끝점: 1은 $B$ 에 없고, 7은 $A$ 에 없습니다. 둘 다 교집합에서 제외됩니다. 답변이 일관성이 있습니다.

출처. Stitz–Zeager — 전미적분 §1.2 — CC-BY-NC-SA 라이선스.

Example— 3· |u| ≤ c 유형의 부등식(중급)

문제: 부등식 $|x - 4| \leq 3$ 을 풀고 해를 구간 표기법으로 표현하세요.

전략: $|u| \leq c$ 유형의 절댓값 부등식( $c > 0$ )을 복합 부등식으로 다시 쓸 수 있습니다: $-c \leq u \leq c$ . 이 성질을 적용한 후 $x$ 에 대해 풉니다.

풀이:

부등식 다시 쓰기: 절댓값 성질이 우리를 $|x - 4| \leq 3$ 에서 다음으로 변환하도록 합니다: $-3 \leq x - 4 \leq 3$
$x$ 분리: $x$ 를 분리하기 위해 부등식의 모든 부분에 4를 더합니다: $-3 + 4 \leq x - 4 + 4 \leq 3 + 4$ $1 \leq x \leq 7$
구간 표기법으로 표현: 부등식 $1 \leq x \leq 7$ 는 $x$ 가 1과 7 사이의 모든 실수이며, 1과 7을 포함할 수 있음을 의미합니다.

$\text{해:} [1, 7]$

검증:

구간 내의 한 점을 테스트: $x=5$ . $|5 - 4| = |1| = 1$ . $1 \leq 3$ . (OK)
한 끝점을 테스트: $x=1$ . $|1 - 4| = |-3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
다른 끝점을 테스트: $x=7$ . $|7 - 4| = |3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
구간 밖의 한 점을 테스트: $x=0$ . $|0 - 4| = |-4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK)
구간 밖의 다른 점을 테스트: $x=8$ . $|8 - 4| = |4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK) 해가 올바릅니다.

출처. OpenStax — 대수학 2e §1.7 — CC-BY 4.0 라이선스.

Example— 4· 이차 부등식(고급)

문제: 부등식 $x^2 - x - 6 > 0$ 의 해 집합을 구간 표기법으로 구하세요.

전략: 이차 부등식을 풀기 위해 먼저 관련 이차 방정식의 근을 찾습니다( $x^2 - x - 6 = 0$ ). 이 근들은 실수 직선을 구간으로 나눕니다. 다음으로 각 구간의 한 점을 테스트하여 부등식이 만족되는지 확인합니다.

풀이:

관련 방정식의 근 찾기: $x^2 - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$ .
- 방정식을 인수분해할 수 있습니다: $(x - 3)(x + 2) = 0$ .
- 근은 $x = 3$ 과 $x = -2$ 입니다.
실수 직선을 구간으로 나누기: 근 $-2$ $- 2$ 와 3은 실수 직선을 세 개의 구간으로 나눕니다:
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 3)$
- $(3, +\infty)$
각 구간에서 한 점을 테스트:
- 구간 $(-\infty, -2)$ : $x = -3$ 을 선택합니다. $(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ . $6 > 0$ 이므로 이 구간은 부등식을 만족합니다.
- 구간 $(-2, 3)$ : $x = 0$ 을 선택합니다. $(0)^2 - (0) - 6 = -6$ . $-6 \not> 0$ 이므로 이 구간은 부등식을 만족하지 않습니다.
- 구간 $(3, +\infty)$ : $x = 4$ 를 선택합니다. $(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$ . $6 > 0$ 이므로 이 구간은 부등식을 만족합니다.
만족하는 구간 결합: 해는 부등식이 참인 구간의 합집합입니다. 부등식이 0보다 엄격히 크다는 것에 유의하므로 근은 포함되지 않습니다.

$\text{해:} (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

검증: 포물선 $y = x^2 - x - 6$ 은 위로 볼록합니다(계수 $x^2$ 가 양수입니다). 이는 함수의 값이 근 "밖에서"는 양수이고 근 "사이에서"는 음수임을 의미합니다. 발견된 해가 포물선의 그래프와 일치합니다.

출처. OpenStax — 대수학 2e §3.6 — CC-BY 4.0 라이선스.

Example— 5· 점 제외를 통한 모델링(실제 모델링)

문제: 온도 센서는 온도 $T$ (섭씨온도)가 $10\,°C$ (포함)와 $40\,°C$ (제외) 사이에 있는 환경에서 올바르게 작동합니다. 또한 특정 요구사항으로 인해 온도는 정확히 $25\,°C$ 가 될 수 없습니다. 유효한 작동 범위를 구간의 합으로 표현하세요.

전략: 먼저 작동 기본 구간을 정의합니다. 다음으로 허용되지 않는 특정 점을 제거합니다. 한 점의 제거는 구간을 두 개의 분리된 구간으로 나눌 수 있습니다.

풀이:

기본 구간 정의: 온도는 $10\,°C$ (포함)에서 $40\,°C$ (제외) 사이에 있어야 합니다. 이는 구간 $[10, 40)$ 로 표현됩니다.
제외할 점 식별: 온도는 $25\,°C$ 일 수 없습니다.
기본 구간에서 점 제거: 숫자 25는 구간 $[10, 40)$ $[10, 40)$ 내에 있습니다. 25를 제거하면 구간은 두 부분으로 나뉩니다:
- 10(포함)에서 25(제외)까지의 모든 숫자: $[10, 25)$ .
- 25(제외)에서 40(제외)까지의 모든 숫자: $(25, 40)$ .
구간의 합으로 표현: 유효한 작동 범위는 이 두 분리된 구간의 합입니다.

$\text{작동 범위:} [10, 25) \cup (25, 40)$

검증:

$T=10$ : 유효합니다. 첫 번째 구간에 있습니다.
$T=20$ : 유효합니다. 첫 번째 구간에 있습니다.
$T=25$ : 유효하지 않습니다. 어떤 구간에도 없습니다.
$T=30$ : 유효합니다. 두 번째 구간에 있습니다.
$T=40$ : 유효하지 않습니다. 원래 구간에서 제외됩니다. 해가 모든 조건을 만족합니다.

출처. Yoshiwara — 모델링, 함수 및 그래프 1장 — 무료 라이선스.

Exercise list

3 exercises · 1 with worked solution (25%)

Application 3

Ex. 1.1ApplicationAnswer key
집합 $A = \{x \in \mathbb{N} : 1 \leq x \leq 5\}$ 를 괄호 표기법으로 나열하세요.
Solve online
Ex. 1.2Application
다음을 구간 표기법으로 쓰세요: $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 8\}$ .
Solve online
Ex. 1.3Application
다음을 구간 표기법으로 표현하세요: $\{x \in \mathbb{R} : x < 5\}$ .
Solve online