제2강 — 함수: 정의, 정의역, 치역

$f(x) = 3x + 1$의 최대 정의역을 구하시오.

$g(x) = \frac{1}{x - 2}$의 최대 정의역을 구하시오.

$h(x) = \sqrt{x - 5}$의 최대 정의역을 구하시오.

$f(x) = \frac{1}{(x+2)(x-3)}$의 최대 정의역을 구하시오.

$f(x) = 2x^2 + 2$라 하자. $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$를 계산하시오.

함수 $f(x) = 3x - 1$은 단사인가? 정당화하시오.

$\mathbb{R}$에서 정의된 함수 $g(x) = x^2$는 단사인가?

$\mathbb{R}$에서 정의된 $g(x) = x^2$의 치역은 무엇인가?

$f(x) = x^2$와 $g(x) = x + 1$이라 하자. $(f \circ g)(x)$를 계산하시오.

위와 같은 $f$, $g$로, $(g \circ f)(x)$를 계산하시오.

앞의 것과 다른 구체적인 반례를 들어 일반적으로 $f \circ g \neq g \circ f$임을 보이시오.

$f(x) = 3x + 1$의 역함수를 구하시오.

$\mathbb{R}$에서 정의된 $f(x) = x^2$가 역함수를 갖지 않는 이유는? $[0, +\infty)$에서는?

$f: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$, $f(x) = x^2$의 역함수를 구하시오.

택시가 R$5.50 고정 + R$3.10/km를 부과한다. (a) 비용 함수 $T(d)$를 쓰시오. (b) 12 km 운행은 얼마인가? (c) 어떤 거리에서 비용이 R$80인가?

빈 수영장이 200 L/min의 일정한 유량으로 채워진다. 채우는 동안 부피 $V(t)$를 시간 $t$(분)의 함수로 모델링하시오(리터 단위). 수영장의 총 용량은 8000 L이다. 물리적 정의역과 치역을 구하시오.

70 kg, 1.75 m인 사람의 BMI를 계산하시오. WHO의 어느 범위에 속하는가?

공장이 하루에 $C(q) = 100 + 8q + 0{,}1q^2$ 헤알의 비용으로 $q$ 단위를 생산한다. (a) 고정 비용은 얼마인가? (b) $q = 50$일 때 단위당 평균 비용은 얼마인가? (c) 51번째 단위 생산 비용은 얼마인가? (이 차이가 "한계 비용" — 도함수의 미리보기!)

$(f \circ g)(x) = x^2 + 1$이고 $g(x) = x + 1$인 함수 $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$이라 하자. $f(x)$를 구하시오.

증명하라: 두 전단사 함수의 합성은 전단사이다.

$f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$의 최대 정의역을 구하시오.

$f(x) = \sqrt{4 - x}$의 최대 정의역을 구하시오.

$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$의 정의역을 구하시오.

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$의 정의역을 구하시오.

$f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$의 정의역을 구하시오.

수평선 검정을 사용하여 $f(x) = x^3 - 3x$가 $\mathbb{R}$에서 단사인지 결정하시오.

$f(x) = x^3$로 정의된 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 단사인가? 전사인가? 전단사인가? 정당화하시오.

$g(x) = x^2$로 정의된 함수 $g: \mathbb{R} \to [0, +\infty)$는 전사인가? 단사인가?

$f(x) = 2x + 3$와 $g(x) = x^2$이라 하자. $f \circ g$, $g \circ f$, $f \circ f$, $g \circ g$를 계산하시오.

$(f \circ g)(x) = 4x^2 - 4x + 5$이고 $g(x) = 2x - 1$임을 알 때 $f(x)$를 구하시오. (힌트: $u = 2x - 1$로 두라.)

$|x|$의 그래프로부터 $f(x) = |x - 3|$의 그래프를 그리시오.

$x^2$에 대한 변환으로부터 $f(x) = -2(x+1)^2 + 4$를 그리시오.

아래의 각 함수가 우함수, 기함수, 또는 둘 다 아닌지 결정하시오: (a) $f(x) = x^4 - x^2$; (b) $g(x) = x^3 + x$; (c) $h(x) = x^2 + x$.

특성 함수 $\chi_A(x) = 1$ (만약 $x \in A$), 그렇지 않으면 $0$을 고려하라. $A = [0, 1]$에 대해, $\chi_A$를 그리시오. 정의역과 치역을 구하시오.

함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 모든 $x$에 대해 $f(x + T) = f(x)$를 만족하는 $T > 0$가 있을 때 주기 $T$의 주기 함수라 한다. $\sin x$가 주기 $2\pi$임을 확인하시오. 더 작은 주기가 존재하는가?

직사각형 수영장이 30 m의 고정 둘레를 가진다. 길이 $\ell$의 함수로서 면적 $A$를 모델링하시오. 물리적 정의역(타당한 최솟값과 최댓값)을 구하시오.

한 변이 20 cm인 정사각형 판지에서 모서리에 한 변이 $x$인 정사각형을 잘라내고 접어 뚜껑이 없는 상자를 만든다. 부피 $V(x)$를 모델링하시오. 정의역을 명시하시오.

방에서 식어가는 커피의 온도 $T$ (°C)는 $T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}9^t$를 따른다 ($t$는 분). $T(0)$, $T(10)$, 그리고 극한 $\lim_{t \to \infty} T(t)$를 정성적으로 구하시오 (형식 미적분 없이).

수요 함수 $D(p) = 100 - 2p$ ($p$는 헤알, $D$는 단위)는 고객이 각 가격에서 몇 단위를 구매하는지 설명한다. (a) 어떤 가격에서 수요가 0이 되는가? (b) 정의역 $p \geq 0$의 실제 해석은 무엇인가?

회사의 생산 비용 함수는 $C(q) = 2.000 + 8q$이다 (고정 부분 + 변동 부분). (a) 100 단위 생산 비용은? (b) 평균 비용 함수 $CM(q) = C(q)/q$를 모델링하시오.

박테리아가 30분마다 두 배가 된다. $N(0) = 100$이라면 인구 $N(t)$를 모델링하시오. (이 함수는 6강에서 지수함수로 돌아온다.)

$x$ m의 물을 통과하는 빛의 강도 $I$는 람베르트-비어를 따른다: $I(x) = I_0 \e^{-kx}$, $k = 0{,}5$. $I_0 = 1.000$ lux에 대해: (a) 2 m에서의 강도는? (b) 강도가 절반으로 떨어지는 깊이는?

역학에서 높이 $h_0$로부터 자유낙하하는 물체의 위치는 $h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2$, $g \approx 9{,}81$ m/s²이다. $h_0 = 100$ m에 대해: 물체는 언제 지면에 도달하는가?

항공사가 $n$명의 승객이 있는 항공편에 대해 $1.500 + 200n$ 헤알의 비용이 들고, 티켓당 $300$ 헤알을 부과한다. 이익 $L(n)$을 모델링하시오. 어떤 $n$에서 항공편이 수익성을 갖게 되는가?

브라질 소년들의 평균 신장은 (대략) $h(t) = 50 + 6t$ cm를 따른다, $t \in [0, 18]$ 세. (a) 물리적 정의역? (b) 12세 때의 신장은? (c) 6 cm/년이 합리적인가? 모델의 한계를 논의하시오.

권장 최대 심박수는 $F_\text{max}(\text{나이}) = 220 - \text{나이}$이다. 함수를 모델링하고 30, 50, 70세에 대해 계산하시오.

동네 기하학에서 두 지점 사이의 차량 공유 자동차 경로는 맨해튼 거리 함수 $d_M(P, Q) = |x_P - x_Q| + |y_P - y_Q|$로 모델링할 수 있다. $d_M((1,2), (5,7))$을 계산하시오. (대학에서의 $\ell_1$ 노름과의 연결.)

함수 $V(t) = 30.000(0{,}85)^t$는 구입 후 $t$년 동안 자동차의 재판매 가치를 모델링한다. 계산하시오 (a) $V(0)$; (b) $V(5)$; (c) 가치가 R$ 10.000 미만으로 떨어지는 $t$는?

수학적으로 모델링하시오: "두 수의 합은 30이고 곱은 최대". (이차 함수 — 4강 미리보기.)

공장에서 각 작업자는 하루에 12개의 제품을 조립한다. 조정 비효율성이 있다: 50명의 작업자부터 각 추가 작업자는 8개의 제품만 조립한다. 총 생산 $P(n)$을 구간별 함수로 모델링하시오.