4강 — 이차함수

$x^2 - 4x + 3 = 0$을 풀어라.

$x^2 - 3x - 10 = 0$을 풀어라.

$x^2 - 6x + 9 = 0$을 풀어라.

$x^2 + x + 1 = 0$이 실근을 갖는지 확인하라.

$f(x) = x^2 - 4x + 3$의 꼭짓점을 구하라.

앞 항목의 함수는 최댓값을 갖는가, 최솟값을 갖는가? 무엇인가?

$x^2 + 2x + k = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 $k$의 값을 결정하라.

비에타의 정리(근의 합과 곱)를 이용하여 $x^2 - x - 2 = 0$을 풀어라.

$f(x) = 2x^2 - 8x + 11$을 표준형 $a(x - x_V)^2 + y_V$로 다시 쓰라.

발사체가 발사되었고 시간의 함수로서의 높이는 $h(t) = -5t^2 + 20t$ (미터, $t$는 초). (a) 언제 최대 높이에 도달하는가? (b) 최대 높이는? (c) 언제 지면으로 돌아오는가?

가게는 $q$개를 제조하는 데 비용 $C(q) = q^2 - 30q + 250$이 든다. 비용을 최소화하는 단위 수는?

농부가 200 m의 울타리로 직사각형 목초지를 만들려고 한다. 면적을 최대화하는 치수는?

함수 $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$의 꼭짓점이 $y$축 위에 있도록 $m$을 결정하라.

증명하라: $f(x) = ax^2 + bx + c$의 꼭짓점의 x좌표는 근(존재할 때)의 평균이다.

완전제곱식을 이용하여 근의 공식을 증명하라.

$f(x) = x^2 - 2x - 8$의 근, 꼭짓점을 구하고 개형을 그려라.

$f(x) = -2x^2 + 4x + 6$의 근, 꼭짓점을 구하고 개형을 그려라.

$f(x) = 3x^2 - 12x + 9$의 근과 꼭짓점을 구하라.

$f(x) = x^2 + 6x + 13$의 근과 꼭짓점을 구하라. (실근 없음 — 판별식으로 확인.)

풀어라: $x^2 - x - 12 = 0$.

풀어라: $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

풀어라: $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

풀어라: $x^2 - 4x - 5 < 0$.

풀어라: $x^2 \geq 9$.

어떤 $a$ 값에서 포물선 $y = a(x - 3)^2 + 5$의 꼭짓점이 점 $(3, 5)$가 되는가? $a$는 그래프의 형태에 무엇을 하는가?

$f(x) = x^2 + kx + 9$가 중근을 갖도록 $k$를 결정하라.

$f(x) = 2x^2 - 8x + 5$를 $a(x - h)^2 + k$ 형태(표준형/꼭짓점형)로 다시 쓰라.

근이 $-2$와 $5$이고 $(0, -10)$을 지나는 이차함수를 구하라.

꼭짓점이 $(1, -3)$이고 $(3, 5)$를 지나는 이차함수를 구하라.

$x^2$의 그래프에서 시작하여 일련의 변환을 통해 $y = 2(x-1)^2 - 3$의 개형을 그려라.

초속 30 m/s로 발사체를 수직 발사한다. 높이는 $h(t) = 30t - 5t^2$ (m). (a) 최대 높이? (b) 떨어지기까지의 시간? (c) $h(t)$의 개형을 그려라.

울타리가 직사각형 부지를 벽에 대고 둘러싼다 (3면을 울타리로). 울타리의 총 길이는 60 m. 한 변의 함수로서 면적 $A$를 모델링하고 최대화하라.

수익 $R(p) = p \cdot (200 - 4p)$. (a) 어떤 $p$에서 수익이 0인가? (b) 어떤 $p$에서 최대인가? (c) 최대 수익은?

공장의 비용은 $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$, 수익은 $R(q) = 200q$. (a) 이윤 $L(q)$? (b) 이윤을 최대화하는 $q$? (c) 최대 이윤?

선수가 던진 공의 궤적은 $h(d) = -0{,}1 d^2 + d + 1$ (m)으로 기술되며, $d$는 수평 거리. (a) 도달한 최대 높이? (b) 공이 지면에 닿는 곳은?

직사각형 수영장의 너비는 길이보다 $5$ m 짧다. 면적은 $84$ m². 치수는?

통신에서 수신 전력 $P$는 거리 $d$에 따라 $P(d) = P_0 / d^2$ (역제곱 법칙). $P_0 = 100$일 때: (a) $P(2)$? (b) 어떤 $d$에서 전력이 25인가?

U자형 홈통(폭 30 cm 판으로 성형)은 바닥 $x$, 측면 $(30-x)/2$. 단면적 $A(x)$를 모델링하고 유량을 최대화하는 $x$를 구하라.

등가속 운동: $s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$. $s_0 = 0$, $v_0 = 20$ m/s, $a = -10$ m/s² (제동)일 때, 언제 $s(t) = 0$인가? 최대 이동 거리는?

종양 모델링(단순화 모델)에서 부피는 $V(t) = at^2 + b$로 성장한다. $V(0) = 1$ cm³, $V(2) = 5$ cm³이면 $a, b$를 결정하라.

합이 12이고 곱이 최대인 두 수를 구하라.

빗변 고정 $c = 10$ m인 직각삼각형 부지의 면적. 한 변(직각변)이 $x$. 면적 $A(x)$를 모델링하고 최대화하라.

광학에서 렌즈의 초점거리는 $1/f = 1/d_o + 1/d_i$를 따른다. $f = 10$ cm일 때 $d_i$를 $d_o$의 함수로 모델링하라. 어떤 $d_o$에서 거리 $d_i = 30$ cm로 상이 선명한가?

한 회사에서 급여 인상 ($\Delta s$)이 생산성 ($p$)에 영향: $p(\Delta s) = -0{,}1(\Delta s)^2 + 4 \Delta s + 50$. (a) 최적 인상? (b) 최대 생산성?

농부가 200 m의 울타리로 한 변과 평행한 내부 울타리로 둘로 나뉜 직사각형 닭장을 만든다. 면적을 최대화하는 치수는? 최대 면적은?