5강 — 합성함수와 역함수

$f(x) = x^2$, $g(x) = 2x + 3$이라 하자. $(f \circ g)(x)$를 계산하라.

같은 $f, g$. $(g \circ f)(x)$를 계산하라.

$f(x) = 3x - 1$에 대해 $f^{-1}(x)$를 구하라.

$f: [0,+\infty) \to [2,+\infty)$, $f(x) = x^2 + 2$에 대해 $f^{-1}(x)$를 구하라.

$f(x) = x^2$, $g(x) = x+5$에 대해 $(f \circ g)(2)$를 계산하라.

같은 상황. $(g \circ f)(2)$를 계산하라.

반례로 일반적으로 $f \circ g \neq g \circ f$임을 보여라.

모든 $g$에 대해 $f \circ g = g \circ f$가 되는 함수가 존재하는가? 정당화하라.

$f, g$가 전단사라 하자. $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$임을 보여라. (반대 순서 — "신발을 벗기 전에 양말을 벗기".)

$f \circ g$가 단사이면 $g$는 반드시 단사인가? 정당화하라.

한 제품이 $p$ 헤알이다. 가게 A는 $20\%$ 할인: $f(p) = 0{,}8p$. 가게 B는 R$10 차감: $g(p) = p - 10$. (a) A 다음 B를 적용하면 공식은? (b) B 다음 A를 적용하면? (c) $p = 100$일 때 어느 전략이 덜 지불하는가?

$(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$이고 $g(x) = x + 2$인 $f, g$가 있다. $f$를 결정하라.

$f(x+1) = 2x^2 + 3x - 1$임을 알 때 $f(x)$를 결정하라.

$f$가 전단사이면 $(f^{-1})^{-1} = f$임을 증명하라.

두 단사함수의 합성이 단사임을 보여라.

$f(x) = x + 5$, $g(x) = x^2$이라 하자. $(f \circ g)(x)$와 $(g \circ f)(x)$를 계산하라.

$f(x) = 3x - 2$, $g(x) = \frac{1}{x}$이라 하자. $(f \circ g)(2)$와 $(g \circ f)(2)$를 계산하라.

$f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x^2 - 4$이라 하자. $(f \circ g)(x)$와 그 정의역을 결정하라.

$f(x) = \frac{1}{x-2}$, $g(x) = x + 3$이라 하자. $(f \circ g)(x)$를 계산하고 제한을 표시하라.

$h(x) = (3x + 2)^4$를 "더 단순한" 함수의 합성 $f \circ g$로 분해하라.

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$을 합성으로 분해하라.

$h(x) = \frac{1}{(x+5)^2}$을 세 함수의 합성으로 분해하라.

$f(x) = 3x + 7$의 역함수를 구하라.

$f(x) = \frac{x - 1}{2}$의 역함수를 구하라.

$f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$의 역함수를 구하라.

$f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$의 역함수를 구하라.

$f(x) = 2x + 4$와 $g(x) = (x-4)/2$가 역함수임을 확인하라($f \circ g$와 $g \circ f$를 계산).

함수 $f(x) = x^2$는 $\mathbb{R}$ 위에서 가역이 아니다. $f$가 가역이 되는 두 가지 다른 집합을 결정하고 두 역함수를 제시하라.

그래프적으로 보여라: 역함수 $f^{-1}$의 그래프는 직선 $y = x$에 의한 $f$의 반사이다.

구간 $I$에서 연속이고 단사인 $f$에 대해 $f^{-1}$도 연속임을 보여라. (그래프를 통한 직관적 논증 — 형식화는 41강에서.)

헤알-달러 변환기: $D(R) = R/5$ (단순화된 환율). $D^{-1}$을 구하라 — 1달러당 몇 헤알인가? $D(500)$과 $D^{-1}(50)$을 계산하라.

물류에서 배송비는 $C(p) = 30 + 4p$이며 $p$는 kg 단위 무게이다. $C^{-1}(c)$을 구하라 — 어떤 무게가 R$ $c$의 운송비를 지불하는가? R$ 90의 운송비인 패키지의 무게는?

섭씨에서 화씨로의 변환: $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. $F^{-1}$을 결정하고 $F = 100$에 해당하는 °C 온도를 계산하라.

약동학에서 경구 용량 $D$는 혈중 농도 $C(D) = 0{,}05 \cdot D$ ($D$가 mg일 때 mg/L)을 생성한다. $C^{-1}$을 구하라 — 어떤 용량이 농도 $c$를 생성하는가? $c = 2$ mg/L일 때 용량은?

한 제품이 $p$ 헤알이다. 가게 A는 $f(p) = 0{,}9 p$ (10% 할인) 제공. 가게 B는 $g(p) = p - 50$ (R$ 50 정액 할인) 제공. $p = 800$일 때: (a) 어느 전략이 덜 지불하는가? (b) 어떤 $p$에서 두 전략이 같은 금액을 지불하는가?

회로에서 두 병렬 저항의 합성저항은 $R_T = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$이다. $R_1 = 100\,\Omega$ 고정 시, $R_T$를 $R_2$의 함수로 표현하라. 역함수를 계산하라: $R_T$의 함수로서 $R_2$.

경제 효용 함수: $U(c) = \sqrt{c}$ ($c$ = 소비). 역함수를 구하라: 효용 $u$에 필요한 소비는? $u = 5$일 때 $c$는?

한 자동차는 함수 $C(d) = 0{,}08 d$ 리터로 연료를 소비한다 ($d$는 km). $C^{-1}$을 구하라 — $c$ 리터로 몇 km? 40 L로 몇 km?

인간의 귀에서 음향 감각은 근사 법칙 $S(I) = k \log(I/I_0)$ (로그 — 7강 미리보기)를 따른다. $S$의 함수로서 $I$를 찾기 위해 역으로 만들어라.

산업 평가 척도는 0에서 100까지이다. 산업은 점수를 1-10 척도로 변환하여 게시해야 한다. 변환 $C(n)$과 그 역함수를 모델링하라.

JPEG 이미지 압축에서 품질 계수 $Q \in [0, 100]$은 픽셀당 비트 수와 관련된다. 단순화된 모델: $b(Q) = 0{,}05 Q^2$ bpp. $b$의 함수로서 $Q$로 역변환하라.

수영장에 채움 함수 $V(t) = 80t$ 리터. $V^{-1}(v)$을 구하라 — $v$ 리터를 채우는 데 걸리는 시간. 4,000 L에는 얼마나 걸리는가?

인구 모델링에서 $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/T}$는 $T$년마다 두 배가 된다. $t(P)$로 역변환하라 — 인구가 $P$에 도달하기까지 시간은? (7강의 로그를 사용.)

청량음료의 당도를 측정하는 기술자는 밀도-농도 관계 $\rho(c) = 1{,}0 + 0{,}004 c$ ($c$가 g/L일 때 g/cm³)를 사용한다. 역변환하라: $\rho = 1{,}080$일 때 $c$를 추정하라.

생산함수: 각 작업자가 $p(n) = 50n - 0{,}5 n^2$ 단위를 생산, $n \in [0, 100]$. (a) $[0, 50]$ 위의 국소 역함수. (b) 어떤 $n$에서 생산이 최대인가?