6강 — 지수함수

$2^5$를 계산하시오.

$2^{-3}$를 계산하시오.

$2^x = 8$을 풀이하시오.

$3^x = 1/9$을 풀이하시오.

$2^{x+1} = 32$를 풀이하시오.

$2^x > 2$를 풀이하시오.

$4^x = 64$를 풀이하시오.

$9^x = 27$을 풀이하시오.

정수 거듭제곱의 정의를 사용하여 $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$임을 보이시오.

박테리아 군집이 매시간 두 배가 됩니다. 처음에 50마리의 박테리아가 있습니다. (a) $N(t)$를 모델링하시오. (b) 6시간 후에는 몇 마리가 됩니까? (c) 개체수가 12,800에 도달하는 데 얼마나 걸립니까?

연 6%의 연간 자본화로 R$1,000을 투자합니다. (a) $t$년 후의 $S(t)$를 모델링하시오. (b) 5년 후 계산하시오. (c) 자본화가 월간이라면, 5년 후 잔액은 얼마입니까?

탄소-14의 반감기는 5,730년입니다. 한 뼈에 원래 탄소-14의 $1/8$이 포함되어 있습니다. 몇 살입니까?

한 도시는 100,000명의 주민이 있고 연 3%로 성장합니다. 인구가 두 배가 되는 데 몇 년이 걸립니까?

$4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$을 풀이하시오. (힌트: $u = 2^x$로 치환.)

$a, b > 0$에 대해 $a^x = b^x$이면 $a = b$ 또는 $x = 0$임을 보이시오.

$2^{x+3} = 4$를 풀이하시오.

$5^{2x-1} = 125$를 풀이하시오.

$9^x = 27$을 풀이하시오.

$3^{x^2 - 1} = 81$을 풀이하시오.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = 8$을 풀이하시오.

$4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$을 풀이하시오. (힌트: $u = 2^x$.)

$9^x - 3^{x+1} - 18 = 0$을 풀이하시오.

$3^x < 9$를 풀이하시오.

$5^{x+1} \geq 25$를 풀이하시오.

$\left(\frac{1}{4}\right)^x > 64$를 풀이하시오.

같은 평면에 $f(x) = 2^x$와 $g(x) = 2^{-x}$를 스케치하시오. 어디서 교차하는지 결정하시오.

구간 $[-2, 2]$에서 $f(x) = 2^x$와 $g(x) = 3^x$를 그래픽으로 비교하시오. 어떤 $x$에서 $f = g$입니까?

$f(x) = a^x$가 $a > 1$이면 엄격하게 증가하고 $0 < a < 1$이면 엄격하게 감소함을 보이시오.

$n = 1, 10, 100, 1{,}000, 10{,}000$에 대해 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$을 계산하시오. $\e \approx 2{,}71828$과 비교하시오.

함수 $f(x) = a^x$가 점 $(2, 9)$를 지나는 $a$의 값은 무엇입니까? 점 $(3, 1/8)$은?

박테리아 배양이 4시간마다 세 배가 됩니다. 처음에 200마리의 박테리아가 있다면, $N(t)$를 모델링하고 $N(12)$를 계산하시오.

월 0.8%의 월간 자본화로 R$ 5,000을 투자합니다. (a) 월 단위로 $S(t)$를 모델링하시오. (b) 24개월 후 잔액?

연속 자본화: $S(t) = S_0 \e^{rt}$. 연 $r = 10\%$로 R$ 1,000을 투자할 때, 연간 자본화 ($1{,}10^5$)와 연속 ($\e^{0{,}5}$)으로 5년 후의 잔액을 비교하시오.

테크네튬-99m (핵의학)의 반감기: 6시간. 초기 용량 200 mCi의 경우, 18시간 후 얼마나 남습니까?

한 도시의 인구는 연 2.5%로 성장합니다. 현재 = 80,000이라면, 10년 후는 얼마입니까?

지수 감쇠: $A(t) = A_0 \cdot 0{,}5^{t/T}$. $A_0 = 100$ 및 $T = 5$의 경우, $A(15)$는 얼마입니까? $A(0)$는?

물에서 빛의 강도는 $I(x) = I_0 \e^{-0{,}3 x}$ ($x$는 미터)로 감쇠합니다. (a) 어떤 깊이에서 $I = 0{,}1 I_0$입니까? (b) $I_0 = 1{,}000$ 럭스의 경우, 5m에서 $I$는 얼마입니까?

스포츠 낚시에서: 냉장고의 죽은 물고기 온도 $T(t)$는 뉴턴의 법칙을 따릅니다: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a)\e^{-kt}$. $T_a = 5\,°C$, $T_0 = 25\,°C$, $k = 0{,}1$/min의 경우: (a) $T(10)$; (b) 언제 $T = 6\,°C$?

약물이 $k = 0{,}3$/h의 비율로 체내에서 제거됩니다. 초기 용량 500 mg의 경우: (a) $C(t)$를 모델링하시오; (b) 농도가 초기의 절반이 되는 때는?

컴퓨터 네트워크에서 패킷이 $t$초 안에 도착할 확률은 $P(t) = 1 - \e^{-\lambda t}$로 근사할 수 있습니다. $\lambda = 0{,}5$/s의 경우: (a) $P(2)$; (b) 어떤 $t$에서 확률이 0.9입니까?

커패시터는 $V(t) = V_0 \e^{-t/RC}$에 따라 방전합니다. $V_0 = 12$V, $RC = 2$s의 경우: (a) $V(1)$; (b) 언제 $V = 1$V?

일간 복리: $S = S_0 (1 + r/365)^{365 t}$는 연속 자본화를 근사합니다. 연 $r = 12\%$, $S_0 = 1{,}000$의 경우, 2년 동안 $S$를 계산하시오.

인구 연구에서 한 도시는 모델링합니다: $P(t) = 50{,}000 \cdot 1{,}03^t$, $t$는 년 단위. (a) 두 배가 되는 데 얼마나 걸립니까? (b) 백분율 $r$ 형식의 연간 비율은 얼마입니까?

차폐에 의해 흡수된 전리 방사선은 $I(x) = I_0 \e^{-\mu x}$ ($\mu$ = 감쇠 계수)를 따릅니다. $\mu = 0{,}2$/cm의 경우: (a) 어떤 두께에서 $I = I_0/10$? (b) 스케치하시오.

대기 산란 (레일리) — 산란된 푸른 빛의 강도 $\propto 1/\lambda^4$. $\lambda_v = 700$ nm (빨강)와 $\lambda_a = 450$ nm (파랑)의 경우, 산란 비율은 얼마입니까?