Lição 7 — Funções logarítmicas

Calcule $\log_2 8$.

Calcule $\log_3 81$.

Calcule $\log_5(1/5)$.

Calcule $\log_{10} 1$.

Calcule $\log_{10} 1000$.

Calcule $\log_4 2$.

Resolva $\log_2 x = 5$.

Resolva $\log_{10} x = 2$.

Use propriedades para simplificar $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$.

Calcule $\log_2 \sqrt{32}$ usando propriedades.

Calcule $\log_5 25$.

Calcule $\log_3(1/9)$.

Calcule $\log_{16} 64$.

Calcule $\log_2 32 + \log_2 4$ usando propriedades.

Calcule $\log_3 27 - \log_3 9$ usando propriedades.

Use P1: calcule $\log_2(8 \cdot 16)$.

Use P2: calcule $\log_2(32/8)$.

Use P3: calcule $\log_5(125^3)$.

Use mudança de base para exprimir $\log_2 7$ em termos de $\ln$, e calcule numericamente.

Resolva $\log_3 x = 4$.

Resolva $\log_2(x+1) = 5$.

Resolva $\log_5 x = \log_5 6 + \log_5 4$.

Resolva $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

Resolva $\ln(x+1) = 2$. Expresse a resposta exata e um valor aproximado.

Resolva $\log_4 x + \log_4(x-3) = 1$.

Resolva $\log_3(x^2 - 5x + 9) = 1$.

Qual é o domínio e a imagem de $f(x) = \log_a x$ (com $a > 0, a \neq 1$)?

Por que $\log_{10} 0$ é indefinido? Explique usando a definição do logaritmo.

Sabendo $\log_{10} 2 \approx 0,301$, calcule $\log_{10} 5$ sem calculadora.

Qual afirmação sobre $\log(2 \cdot 5)$ está correta?

A escala Richter é $M = \log_{10}(A/A_0)$. Quantas vezes mais amplitude tem um sismo de magnitude 6 comparado a um de magnitude 3? E quantas vezes mais energia (sabendo que $E \propto A^{3/2}$)?

Por que a base do logaritmo precisa satisfazer $a > 0$ e $a \neq 1$? Dê um argumento para cada restrição.

O que acontece com $\log_{10}(\log_{10}(0{,}3))$? Por quê?

pH = $-\log_{10}[H^+]$. (a) Para $[H^+] = 10^{-3}$ mol/L, calcule o pH. (b) Quantas vezes mais ácida é uma solução de pH 4 em relação a pH 7?

Nível sonoro: $L = 10\log_{10}(I/I_0)$, $I_0 = 10^{-12}$ W/m². (a) Calcule $L$ para conversa ($I = 10^{-6}$ W/m²). (b) Para show de rock ($I = 10^{-2}$ W/m²). (c) Qual a razão de intensidades?

Uma droga tem meia-vida de 6 horas. Quantas meias-vidas até o nível cair abaixo de 1% do inicial? Quanto tempo em horas?

A população mundial cresce a 1,1% ao ano. Em quanto tempo dobra? (Use $\ln 2 \approx 0{,}693$.)

Datação por carbono-14: $t = \frac{\tau_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln(N_0/N)$. Para $\tau_{1/2} = 5\,730$ anos e $N/N_0 = 0,25$, qual a idade da amostra?

Juros compostos: $t = \log(S/S_0)/\log(1+i)$. Para $S_0 = 1.000$, $i = 8\%$ a.a., quanto tempo até $S = 5.000$?

Em fotografia, cada "stop" corresponde a $\log_2$ da razão de luminância. Quantos stops separam ISO 100 e ISO 1.600?

Magnitude estelar: $m_1 - m_2 = -2{,}5\log_{10}(F_1/F_2)$. Sirius tem $m \approx -1{,}5$ e o limite da visão a olho nu é magnitude 6. Quantas vezes Sirius é mais brilhante?

Busca binária tem complexidade $O(\log_2 n)$. Para $n = 10^6$, quantas comparações no pior caso?

Demonstre a propriedade do produto: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, usando apenas a definição de logaritmo e a lei dos expoentes.

Demonstre a propriedade da potência: $\log_a(x^n) = n\,\log_a x$. Como corolário, mostre que $\log_a \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_a x$.

Demonstre a fórmula de mudança de base: $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, para $a, b > 0$, $a, b \neq 1$.

Crescimento contínuo: $P(t) = P_0\,e^{rt}$. Inverta para expressar $t$ em função de $P, P_0, r$. Calcule o tempo para dobrar R$ 1.000 a 10% a.a. (capitalização contínua). Compare com a regra dos 70.