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강 9 — 평균변화율 — 미적분의 입구

Δy/Δx를 도함수 이전의 중심 개념으로. 기하학적 해석(할선의 기울기) 및 물리적 의미(평균 속도). 미적분을 여는 질문: 'Δx가 매우 작으면 어떻게 될까?'

Used in: 고등학교 1학년 · 미적분 입구(5–6분기)

\text{평균변화율} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

정의 및 해석

"비율 $[f(b) - f(a)]/(b - a)$ 를 구간 [a, b]에서 $f$ 의 변화율 비율이라고 합니다." — 활성 미적분 §1.3

기하학적 해석

평균변화율은 점 $(a, f(a))$ 와 $(b, f(b))$ 를 지나는 $f$ 그래프의 할선 기울기입니다.

극한이 열리는 질문

Δx → 0이면 어떻게 될까? 할선은 "접선"으로 변하고 평균변화율은 즉시변화율(도함수) $f'(a)$ 로 수렴합니다:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

이것이 5분기(극한) 및 6분기(도함수)의 주제입니다. 이 강의는 입장입니다.

해결된 예제

Example— 1· [1, 4]에서 f(x) = x² (직접 응용)

문제: 구간 $[1, 4]$ 에서 $f(x) = x^2$ 의 평균변화율을 계산하세요.

전략: $a = 1$ , $b = 4$ 와 함께 정의 $\text{평균변화율} = (f(b) - f(a))/(b - a)$ 를 직접 적용합니다.

풀이:

$f(1) = 1^2 = 1$ 및 $f(4) = 4^2 = 16$ 을 계산합니다.
공식 적용: $\text{평균변화율} = (16 - 1)/(4 - 1) = 15/3 = 5$ .
답: 평균변화율 = 5.

검증: 이것은 점 $(1, 1)$ 과 $(4, 16)$ 을 지나는 할선의 기울기입니다. 할선 방정식: $y - 1 = 5(x - 1)$ , 또는 $y = 5x - 4$ . $x = 4$ 대입: $y = 16$ , 확인됨. $x = 1$ 대입: $y = 1$ , 확인됨.

출처. 활성 미적분 §1.3 — CC-BY-NC-SA.

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Application 1

Ex. 9.1ApplicationAnswer key
구간 $[1, 3]$ 에서 $f(x) = x^2$ 의 평균변화율을 계산하세요.
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