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강 10 — 1분기 통합: 워크숍

이전 9개 강의의 통합 워크샵. 함수, 변화율, 지수, 모델링을 결합하는 문제. ENEM/EJU/Abitur 스타일.

Used in: 고등학교 1학년

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

분기 로드맵

이 강의는 새로운 내용을 도입하지 않습니다. 이전 내용을 결합하는 통합 워크샵입니다:

강 1: 집합 표기법, 구간, 집합 연산
강 2: 정의역, 치역, 합성, 단사성
강 3–4: 아핀 및 이차 함수
강 5: 공식 합성 및 역함수
강 6–8: 지수, 로그, 성장/감소 모델
강 9: 평균변화율

분기의 개념적 호:

이 분기는 변화를 설명하는 방법이라는 하나의 아이디어를 아래에서 위로 구축합니다.

사전요구 지도

개념	강	여기서의 용도
집합과 구간	1	지수/로그 정의역; 조건 교집합
함수 및 합성	2, 5	$(f \circ g)(x)$ , 역함수
아핀 및 이차	3, 4	선형/포물선 모델링
지수 및 로그	6, 7, 8	이자, 감소, 반감기
평균변화율	9	평균 속도, 한계 비용

해결된 예제

Example— 1· 로그를 포함하는 합성의 정의역(응용)

문제: $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ 의 최대 정의역을 결정하세요.

전략: 로그의 인수는 엄격히 양수여야 합니다. 부등식 $x^2 - 4 > 0$ 을 인수분해와 부호 분석으로 풉니다.

풀이:

조건: $x^2 - 4 > 0$ , 즉 $(x - 2)(x + 2) > 0$ .
근: $x = 2$ 및 $x = -2$ . 위로 볼록한 포물선.
부등식은 "근 밖에서" 만족됩니다: $x < -2$ 또는 $x > 2$ .
정의역: $\text{정의역}(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ .

검증: $x = 3$ 에서: $f(3) = \log_2(5) \approx 2.32$ , 정의됨. $x = 0$ 에서: $0^2 - 4 = -4 < 0$ — 정의 안 됨, $0 \notin \text{정의역}(f)$ 와 일치. $x = 2$ 에서: $\log_2(0) \to -\infty$ — 정의역에 없음.

출처. OpenStax 대수학 2e §6.3 — CC-BY 4.0.

Exercise list

1 exercises · 1 with worked solution (25%)

Application 1

Ex. 10.1ApplicationAnswer key
$f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ 의 최대 정의역을 찾으세요. 구간 표기법으로 표현하세요.
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