14강 — 삼각방정식과 삼각부등식

해의 구조

사인을 포함하는 방정식

$a \in [-1, 1]$인 $\sin x = a$에 대해: $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

여기서 $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$는 주역함수.

코사인을 포함하는 방정식

$a \in [-1, 1]$인 $\cos x = a$에 대해: $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

여기서 $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

탄젠트를 포함하는 방정식

$a \in \mathbb{R}$인 $\tan x = a$에 대해: $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

여기서 $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

일반 레시피

삼각방정식 $f(x) = 0$을 풀려면:

1. 항등식을 통해 기본 방정식 $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$로 환원한다.
2. 구간 $[0, 2\pi)$ (또는 $[-\pi, \pi]$)에서 모든 해를 나열한다.
3. $2k\pi$ (탄젠트의 경우 $k\pi$)를 더해 일반화한다.