15강 — 사인 법칙과 코사인 법칙

증명과 사용

사인 법칙

증명 (예각 삼각형의 경우): 꼭짓점 $C$에서 변 $\overline{AB}$로의 높이 $h$를 작도한다. 그러면 $h = b \sin A = a \sin B$. 따라서 $a/\sin A = b/\sin B$. $c$에 대해서도 같은 논증. ∎

특수한 경우 ($C$에서 직각): $\sin C = 1$, 따라서 $c = 2R$ — 빗변은 외접원의 지름이다. 탈레스의 정리 (기하학적).

코사인 법칙

증명: 벡터의 내적 $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$에 의해: $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

$\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$이므로, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$를 얻는다. ∎

각 법칙을 언제 사용하는가

모호한 경우 (SSA)

$a$, $b$, $A$ ($a$의 대각)가 주어진 경우: 0개, 1개 또는 2개의 삼각형이 있을 수 있다. 결정:

• $a \geq b$이면: 1개의 삼각형.
• $a < b \sin A$이면: 0개의 삼각형 (기하학적으로 불가능).
• $b \sin A < a < b$이면: 2개의 삼각형.