제18강 — 등비수열(PG)

정의와 공식

일반항

$a_n = a_1 q^{n-1}$

처음 $n$ 항의 합

$q \neq 1$ 일 때: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

증명: $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. $q$ 를 곱한다: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ 빼면: $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, 따라서 $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

무한합 (수렴하는 PG)

$|q| < 1$ 이면 $n \to \infty$ 일 때 $q^n \to 0$. 따라서:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

이것이 기하급수, 테일러 급수의 핵심 (Trim 9).

거동

• $q > 1$: PG 가 지수적으로 증가.
• $q = 1$: 상수.
• $0 < q < 1$: 감소, 0 으로 수렴.
• $q = -1$: $a_1, -a_1, a_1, \ldots$ 로 진동.
• $q < -1$: 진폭이 커지면서 진동.