26강 — 평면의 벡터

ℝ²의 벡터

연산

• 합: $\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$.
• 스칼라: $\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$.
• 차: $\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$.

크기 (노름)

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

단위 벡터

$\hat v = \vec v / |\vec v|$는 크기 1이다. 단위벡터.

표준 벡터

$\hat\imath = (1, 0)$, $\hat\jmath = (0, 1)$. 모든 벡터: $\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$.

성질

• 교환법칙: $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$.
• 결합법칙: $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$.
• 항등원: $\vec 0 = (0, 0)$, $\vec v + \vec 0 = \vec v$.
• 역원: $\vec v + (-\vec v) = \vec 0$.
• 분배법칙: $\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha \vec u + \alpha \vec v$.

이 8가지 성질이 벡터 공간을 특징짓는다 — 선형대수(12학기)에서 형식적으로 다룬다.

평행사변형 법칙

$\vec u + \vec v$는 $\vec u$와 $\vec v$로 이루어진 평행사변형의 대각선이다.