27강 — 내적

정의와 성질

성질

• 교환법칙: $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$.
• 분배법칙: $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$.
• 스칼라에 선형: $(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v)$.
• 양의 정부호: $\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0$, 등호 $\iff \vec u = \vec 0$.

직교성

$\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$ (직교 ⟺ 내적 0).

각도

$\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}$

사영

$\vec v$ 방향으로의 $\vec u$의 사영: $\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v$

핵심 응용 — 역학적 일

$W = \vec F \cdot \vec d$ — 힘의 일은 변위와의 내적.