강의 33 — 전치, 항등, 역행렬

전치와 역행렬

전치

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$. 행과 열이 바뀐다. 성질:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (순서가 뒤바뀐다!)

대칭 행렬: $A^T = A$.

항등

$I_n$: 대각선에 1, 나머지는 0인 정사각 $n \times n$ 행렬. 모든 $A_{n \times n}$에 대해: $AI = IA = A$

역행렬

$A_{n \times n}$이 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$를 만족하는 $A^{-1}$이 존재하면 가역이다. 동치:

1. $A$는 가역이다.
2. $\det A \neq 0$.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$만을 가진다.
4. $A$의 열들은 선형 독립이다.

2x2 역행렬

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

($ad - bc \neq 0$일 때 유효.)

역행렬의 성질

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (순서가 뒤바뀐다!)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$