수업 34 — 2x2와 3x3 행렬식

계산과 성질

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 (사뤼스)

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

("3개의 하강 곱 − 3개의 상승 곱" 규칙.)

성질

1. $\det(I) = 1$.
2. $\det(A^T) = \det(A)$.
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
4. $\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$ ($A_{n \times n}$일 때).
5. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
6. 2개의 행/열을 바꾸면 부호가 반전된다.
7. $A$가 같은 2개 행/열을 가지면 $\det A = 0$.
8. 한 행의 배수를 다른 행에 더해도 행렬식은 변하지 않는다.

기하학적 해석

• $|\det A|$ = $A$의 열이 생성하는 평행육면체의 부피.
• $\det A > 0$: 방향 보존. $\det A < 0$: 방향 반전.
• $\det A = 0$: 열들이 일차종속(평행육면체가 "납작해짐").

가역성 판정

$A$가 가역 $\iff \det A \neq 0$.