수업 35 — 행렬을 통한 연립방정식 풀이

풀이 방법

행렬 형식

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

방법 1 — 가우스 소거법

기본 연산(해를 바꾸지 않음):

1. 두 행 교환.
2. 한 행에 0이 아닌 스칼라 곱하기.
3. 한 행의 배수를 다른 행에 더하기.

목표: 첨가행렬 $[A | \mathbf{b}]$를 사다리꼴까지 삼각화. 그 후 후진대입.

방법 2 — 크라메르

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$이고 $\det A \neq 0$일 때: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

여기서 $A_i$는 $A$의 $i$번째 열을 $\mathbf{b}$로 대체한 것.

방법 3 — 역행렬

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. $A^{-1}$은 소거를 통해 $[A | I] \to [I | A^{-1}]$로 계산 가능.

언제 어떤 것을 사용할까

• 크라메르: 이론적으로 우아하지만 $O(n^4)$ — $n \leq 3$에만 사용.
• 가우스: $O(n^3)$, 실무 표준.
• 명시적 역행렬: 같은 $A$로 여러 시스템을 풀어야 할 때만.

분류

• 확정: 유일한 해 ($\det A \neq 0$).
• 부정: 무한히 많은 해 ($\det A = 0$ + 일관).
• 불능: 해 없음 ($\det A = 0$ + 비일관).