v1 · padrão canônico

Lição 37 — Permutações e arranjos

Permutação total Pn = n!. Arranjo A(n,p). Quando a ordem importa.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math A japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

P_n = n!, \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e demonstrações

Fatorial

"Definimos o fatorial de $n$ como $n! = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1$ para $n \geq 1$ , e $0! = 1$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Crescimento de fatorial:

Crescimento superexponencial de n!. Aproximação de Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Permutação com repetição

Para $n$ objetos com $n_1$ do tipo 1, $n_2$ do tipo 2, ..., $n_k$ do tipo $k$ (com $n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$ ):

P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}

what this means · Divide-se por n_i! porque trocar elementos iguais do tipo i entre si não gera nova configuração.

Anagramas de "ARARA" (3 A's, 2 R's): $5!/(3! \cdot 2!) = 10$ .

"O número de permutações distinguíveis de $n$ objetos onde existem $n_1$ objetos idênticos do tipo 1, $n_2$ do tipo 2, ..., e $n_r$ do tipo $r$ , é $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

$n$ objetos em círculo: $(n-1)!$ . Razão: a "primeira posição" é arbitrária — girar todos juntos não gera nova configuração. Formalmente: fixe um objeto em uma posição; os outros $n-1$ permutam livremente.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Cálculo direto de arranjo

Problema: Calcule $A_8^3$ — quantas formas de escolher e ordenar 3 objetos entre 8 disponíveis.

Estratégia: Aplicar a fórmula $A_n^p = n!/(n-p)!$ , ou equivalentemente $A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1)$ ( $p$ fatores descendentes a partir de $n$ ).

Resolução:

Forma fatorial: $A_8^3 = \dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6$ .
Multiplicação: $8 \cdot 7 = 56$ e $56 \cdot 6 = 336$ .
Resultado: $A_8^3 = 336$ .

Verificação: Pela contagem direta via PFC (1ª posição: 8 opções; 2ª: 7; 3ª: 6) obtemos $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.7 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Anagramas com letras repetidas

Problema: Quantos anagramas distintos pode-se formar com a palavra "BANANA"?

Estratégia: A palavra tem 6 letras com repetições: 3 letras A, 2 letras N e 1 letra B. Aplicar a fórmula da permutação com repetição.

Resolução:

Identificar multiplicidades: $n = 6$ , $n_A = 3$ , $n_N = 2$ , $n_B = 1$ .
Aplicar a fórmula: $P_6^{3,2,1} = \dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!}$ .
Calcular: $6! = 720$ , $3! = 6$ , $2! = 2$ , $1! = 1$ . Logo $720/(6 \cdot 2 \cdot 1) = 720/12 = 60$ .

Verificação: Sem dividir pelas repetições, teríamos $6! = 720$ permutações, mas trocas entre os 3 A's iguais não geram novo anagrama ( $3! = 6$ permutações idênticas), e trocas entre os 2 N's geram $2! = 2$ permutações idênticas. $720/(6 \cdot 2) = 60$ .

Fonte. Wikilivros — Matemática elementar / Combinatória — licença CC-BY-SA.

Example— 3· Permutação circular com restrição

Problema: 8 pessoas vão sentar ao redor de uma mesa redonda. Duas delas, Ana e Bruno, querem ficar juntas. Quantas configurações distintas?

Estratégia: Trate Ana e Bruno como um único bloco. Restam então 7 "objetos" para distribuir em mesa redonda: $(7-1)! = 6!$ . Dentro do bloco, Ana e Bruno podem trocar de lugar: $2!$ formas.

Resolução:

Bloco "AB" + 6 outras pessoas = 7 objetos em mesa redonda: $(7-1)! = 6! = 720$ .
Permutação interna do bloco: $2! = 2$ (AB ou BA).
Total: $720 \cdot 2 = 1\,440$ .

Verificação: Sem a restrição, 8 pessoas em mesa redonda dão $7! = 5\,040$ configurações. Dado o lugar de Ana, Bruno tem 2 vizinhos possíveis em 7 lugares restantes — fração $2/7$ . $5\,040 \cdot 2/7 = 1\,440$ . Consistente.

Fonte. Wikilivros — Matemática elementar / Combinatória — licença CC-BY-SA.

Example— 4· Resolução de equação fatorial

Problema: Determine o valor de $n \in \mathbb{N}$ que satisfaz $\dfrac{(n+2)!}{n!} = 56$ .

Estratégia: Simplificar o quociente fatorial usando $(n+2)! = (n+2)(n+1) \cdot n!$ , reduzindo a uma equação polinomial em $n$ .

Resolução:

Simplificar: $\dfrac{(n+2)!}{n!} = \dfrac{(n+2)(n+1) \cdot n!}{n!} = (n+2)(n+1)$ .
Equação: $(n+2)(n+1) = 56$ , ou seja, $n^2 + 3n + 2 = 56 \Rightarrow n^2 + 3n - 54 = 0$ .
Fórmula de Bhaskara: $n = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \dfrac{-3 \pm 15}{2}$ . Soluções: $n = 6$ ou $n = -9$ .
Como $n \in \mathbb{N}$ , descartamos $n = -9$ . Resposta: $n = 6$ .

Verificação: $(6+2)!/6! = 8!/6! = 8 \cdot 7 = 56$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §9.5 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Senhas com restrição posicional

Problema: Uma senha tem 5 caracteres, todos diferentes, escolhidos do alfabeto $\{A, B, C, \ldots, Z\}$ (26 letras). Por exigência, o primeiro caractere deve ser uma vogal ( $A, E, I, O, U$ ). Quantas senhas distintas existem?

Estratégia: Pelo PFC: contar a primeira posição (vogal) e em seguida o arranjo das 4 posições restantes entre as 25 letras que sobraram.

Resolução:

Primeiro caractere: 5 opções (vogais).
Próximas 4 posições: arranjo $A_{25}^4 = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22$ , pois sem repetição.
Cálculo: $25 \cdot 24 = 600$ , $600 \cdot 23 = 13\,800$ , $13\,800 \cdot 22 = 303\,600$ .
Total: $5 \cdot 303\,600 = 1\,518\,000$ .

Verificação: Sem restrição, $A_{26}^5 = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 7\,893\,600$ . A fração de senhas começando por vogal é $5/26$ . $7\,893\,600 \cdot 5/26 = 1\,518\,000$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.7 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 32Understanding 4Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 37.1Application
Calcule $5!$ .
Solve online
Ex. 37.2Application
Calcule $8!/5!$ .
Solve online
Ex. 37.3ApplicationAnswer key
Quantos anagramas de "MAR" existem?
Solve online
Ex. 37.4Application
Quantos anagramas de "CASA" existem?
Solve online
Ex. 37.5Application
Quantos anagramas de "MISSISSIPPI" existem?
Solve online
Ex. 37.6ApplicationAnswer key
Calcule $A_5^3$ .
Solve online
Ex. 37.7Application
Calcule $A_8^2$ .
Solve online
Ex. 37.8ApplicationAnswer key
Quantas filas de 4 pessoas podem ser feitas com 7 candidatos?
Solve online
Ex. 37.9Application
Premiação 1.º, 2.º, 3.º entre 12 atletas. Quantos pódios distintos são possíveis?
Solve online
Ex. 37.10Application
Quantos números de 3 dígitos distintos podem ser formados com $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ?
Solve online
Ex. 37.11ApplicationAnswer key
Verifique a igualdade $7!/(7-3)! = 7 \cdot 6 \cdot 5$ .
Solve online
Ex. 37.12Application
Resolva $n! = 720$ .
Solve online
Ex. 37.13Application
Resolva $A_n^2 = 30$ para $n \in \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 37.14ApplicationAnswer key
Quantos anagramas de "CIDADE" existem?
Solve online
Ex. 37.15Application
Quantos anagramas de "BANANA" existem?
Solve online
Ex. 37.16ApplicationAnswer key
Quantas senhas de 5 dígitos diferentes podem ser formadas com algarismos $\{0, 1, \ldots, 9\}$ ?
Solve online
Ex. 37.17Application
De quantas formas 6 livros distintos podem ser dispostos em 3 prateleiras (2 em cada), considerando a ordem dentro de cada prateleira?
Solve online
Ex. 37.18Application
8 pessoas em mesa redonda. Quantas configurações distintas?
Solve online
Ex. 37.19Understanding
Justifique por que a permutação circular de $n$ pessoas é $(n-1)!$ e não $n!$ .
Solve online
Ex. 37.20Application
Quantos anagramas de "AMOR" começam pela letra A?
Solve online
Ex. 37.21Application
Quantos anagramas de "MATEMATICA" existem?
Solve online
Ex. 37.22Application
Quantos anagramas de "PROVA" começam por consoante?
Solve online
Ex. 37.23Application
Anagramas de "AMOR" com A e O juntos nesta ordem (bloco "AO" indivisível).
Solve online
Ex. 37.24ApplicationAnswer key
10 alunos vão sentar em 10 cadeiras enfileiradas. 2 amigos querem ficar juntos. Quantas configurações?
Solve online
Ex. 37.25Application
8 pessoas em mesa redonda; 2 querem ficar juntas. Quantas configurações?
Solve online
Ex. 37.26Application
Anagramas de "LIVRO" que começam por vogal.
Solve online
Ex. 37.27ApplicationAnswer key
Quantos números de 4 dígitos distintos podem ser formados com algarismos $\{1, \ldots, 9\}$ ?
Solve online
Ex. 37.28Application
Quantos números pares de 4 dígitos distintos podem ser formados com algarismos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ?
Solve online
Ex. 37.29Application
Resolva $n!/(n-3)! = 60$ para $n \in \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 37.30Application
Resolva $(n+1)!/n! = 5$ .
Solve online
Ex. 37.31Application
Em uma corrida com 10 atletas, quantos pódios distintos (1.º, 2.º, 3.º) podem ocorrer?
Solve online
Ex. 37.32Application
Quantos anagramas de "FATORIAL" existem (todas as letras distintas)?
Solve online
Ex. 37.33Application
Cinco cartas escolhidas e ordenadas em fila de 7 cartas distintas — quantas configurações?
Solve online
Ex. 37.34Understanding
Verifique a recorrência $A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}$ para $n = 6, p = 3$ .
Solve online
Ex. 37.35Modeling
Time de futebol: 11 jogadores ocupam 11 posições distintas em campo. Quantas escalações com posicionamento existem?
Solve online
Ex. 37.36Modeling
Senhas com 8 caracteres alfabéticos minúsculos sem repetição. Quantas senhas distintas existem?
Solve online
Ex. 37.37ModelingAnswer key
Em logística, qual é o número de ordens possíveis para entregar 10 pacotes distintos a 10 destinos?
Solve online
Ex. 37.38Modeling
Em jogo de cartas, quantas configurações distintas de um baralho de 52 cartas existem após um embaralhamento?
Solve online
Ex. 37.39Modeling
Em DNA, sequência de 8 bases (A, T, C, G) onde cada base aparece exatamente 2 vezes. Quantas sequências distintas existem?
Solve online
Ex. 37.40Modeling
Em genética populacional, quantas ordens possíveis existem para ordenar 4 alelos distintos em uma cadeia?
Solve online
Ex. 37.41Modeling
Em aprendizado de máquina, a permutation feature importance embaralha uma feature sobre $N$ amostras e mede queda na predição. Quantas permutações possíveis existem de $N$ amostras?
Solve online
Ex. 37.42Modeling
Em computação gráfica, quantas ordens de renderização existem para 100 polígonos?
Solve online
Ex. 37.43Understanding
Demonstre que $A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}$ .
Ex. 37.44UnderstandingAnswer key
Mostre que $P_n = A_n^n$ .
Ex. 37.45Challenge
Quantos anagramas de "AMOR" começam por consoante e terminam em vogal?
Solve online
Ex. 37.46ProofAnswer key
Demonstre que $A_n^p = n!/(n-p)!$ usando o Princípio Fundamental da Contagem.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §11.7 Counting Principles. Fonte primária.
Wikilivros — Matemática elementar / Combinatória — colaborativo · PT-BR · CC-BY-SA · permutações, arranjos, anagramas. Fonte nativa em português.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.5 Counting.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3rd ed · EN · CC-BY-ND · cap. 3.

Lição 37 — Permutações e arranjos

Definições e demonstrações

Fatorial

Permutação simples

Permutação com repetição

Arranjo simples

Permutação circular

Exemplos resolvidos

Exercise list

Fontes