강의 38 — 조합과 뉴턴 이항정리

$\binom{5}{2}$를 계산하시오.

$\binom{8}{3}$를 계산하시오.

$\binom{10}{5}$를 계산하시오.

모든 $n \geq 0$에 대해 $\binom{n}{0}$의 값은? 조합론적으로 정당화하시오.

모든 $n \geq 1$에 대해 $\binom{n}{1}$의 값은? 조합론적으로 정당화하시오.

대칭성 $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$을 사용하여 $\binom{20}{18}$을 계산하시오.

파스칼 항등식을 수치로 검증하시오: $\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = \binom{7}{3}$. 세 이항계수 모두 계산하시오.

10명의 그룹에서 4명의 위원회를 선택하는 서로 다른 방법은 몇 가지인가?

메가-세나는 60개 중 6개의 십위를 추출한다. 몇 가지 서로 다른 단순 베팅이 존재하는가?

15명의 학생으로 4명의 그룹을 몇 개 형성할 수 있는가?

집합 $\{a, b, c, d, e\}$는 (공집합과 전체를 포함한) 몇 개의 서로 다른 부분집합을 가지는가?

52장 카드 바닥에서 5장을 뽑을 수 있는 서로 다른 손은 몇 개인가?

뉴턴 이항정리에 의한 $(1 + x)^5$ 전개에서 $x^3$의 계수는?

$(x + y)^6$의 전개에서 $x^4 y^2$의 계수는?

뉴턴 이항정리로 $(x + 1)^4$를 전개하시오. 모든 항을 쓰시오.

뉴턴 이항정리로 $(2x - 3)^3$을 전개하시오.

$(a + b)^6$의 중간 항(4번째 항, $T_4$)은?

$(2x + 3)^{10}$ 전개에서 $x^7$의 계수는?

$\binom{20}{p} = \binom{20}{p-2}$을 만족하는 $p$의 값을 찾으시오.

$(1 + x)^{20}$ 전개에서 $x^{10}$의 계수는?

$n = 5$에 대해 명시적으로 $\displaystyle\sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} = 2^5$를 검증하시오. 모든 항을 나열하시오.

정팔각형의 3개 꼭짓점을 이으면 만들어지는 서로 다른 삼각형은 몇 개인가?

10각형은 몇 개의 대각선을 가지는가?

$\binom{9}{3}$을 계산하시오.

파스칼 삼각형의 7행(인덱스 6)의 모든 값을 쓰시오.

$(1 + x)^{10}$ 전개에서 $x^5$의 계수는?

조합 $\binom{n}{r}$과 배열 $P(n, r)$ 사이의 개념적 차이는?

10명의 남성과 8명의 여성 그룹에서 정확히 3명의 남성과 2명의 여성으로 이루어진 5명 위원회를 몇 가지 방법으로 형성할 수 있는가?

$x + y + z = 10$의 음이 아닌 정수 해는 몇 개인가?

52장 카드 바닥에서 5장 손 중 정확히 2개 에이스를 가지는 손은 몇 개인가?

$(0, 0)$에서 $(5, 3)$까지 오른쪽 또는 위로만 이동하는 단위 경로는 몇 개인가?

한 매표로 메가-세나(60개 중 6)를 이길 확률은?

시장 조사에서 분석가가 20개 포트폴리오에서 분석할 5개 제품을 선택해야 한다. 이 선택을 몇 가지 방법으로 할 수 있는가?

공정한 동전을 10번 던진다. 이항 분포 $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$를 사용하여 정확히 5개의 앞면이 나올 확률을 계산하시오.

8개의 동일한 사탕을 3명의 아이에게 분배하는 방법은 몇 가지인가 (각 아이는 0개 이상 받을 수 있음)?

30명의 반에서 5명의 팀을 몇 개 형성할 수 있는가?

왜 $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$인가? 올바른 조합론적 해석은?

$\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$를 증명하는 가장 우아한 방법은?

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$ 전개에서 x의 무관한 항의 계수는?

n에 대한 귀납으로 이항정리를 증명하시오. 귀납 단계에서 파스칼 항등식이 사용되는 부분을 명시하시오.