v1 · padrão canônico

Lição 40 — Consolidação anual: workshop integrador Ano 1

Workshop final do Ano 1. Problemas que combinam funções, trigonometria, geometria analítica, vetores, matrizes, combinatória e probabilidade.

Used in: Capstone 1.º ano EM · Equiv. Math I+II japonês revisão · Equiv. Abitur-Vorbereitung alemão

\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntese axiomática do Ano 1

Os quatro pilares

O Ano 1 construiu quatro pilares que formam o substrato do cálculo, da álgebra linear e da probabilidade:

Definition· Pilar 1 — Funções e análise (Trim 1)

Domínio, imagem, composição e inversa: $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_D$ .
Funções afim, quadrática, exponencial $a^x$ e logarítmica $\log_a x$ .
Taxa de variação média:

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

(TVM)

what this means · Razão de mudança de f entre dois pontos. Para função afim é constante; para funções não-lineares varia com o intervalo — e no limite quando b → a se torna a derivada.

Limite intuitivo de sequência: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ .

"The average rate of change of a function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . We can think of this as the slope of the line connecting the two points $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$ ." — Active Calculus §1.3

Definition· Pilar 2 — Trigonometria e sequências (Trim 2)

Ciclo trigonométrico, identidade fundamental: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
Lei dos senos: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ .
Lei dos cossenos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ .
Progressão aritmética (PA) e geométrica (PG):

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}

(PA)

what this means · Soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo a₁ e razão r.

S_n = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}

(PG)

what this means · Soma dos n primeiros termos de uma PG com razão q ≠ 1. Quando |q| < 1 e n → ∞, a soma converge para a₁/(1-q).

Definition· Pilar 3 — Geometria analítica e vetores (Trim 3)

Distância entre pontos: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ .
Equação da reta: $y = mx + b$ ou forma geral $ax + by + c = 0$ .
Cônicas: circunferência, elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , hipérbole, parábola.
Produto escalar e ângulo entre vetores:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta

(PE)

what this means · O produto escalar é zero se e somente se os vetores são perpendiculares. O ângulo θ é obtido dividindo o produto escalar pelo produto dos módulos.

"The dot product is distributive over addition and satisfies $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$ where $\theta$ is the angle between $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.4

Definition· Pilar 4 — Álgebra linear, combinatória e probabilidade (Trim 4)

Matrizes, determinante (regra de Sarrus ou expansão de Laplace), inversa $A \cdot A^{-1} = I$ .
Sistemas $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ : eliminação de Gauss, regra de Cramer.
Contagem estruturada:

\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}

(Comb)

what this means · Número de subconjuntos de tamanho p de um conjunto de n elementos. A ordem não importa. Arranjo A_n^p = n!/(n-p)! conta quando a ordem importa.

Probabilidade condicional e Teorema de Bayes:

P(A|B) = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B|A)\,P(A) + P(B|\bar{A})\,P(\bar{A})}

(Bayes)

what this means · Bayes inverte a condicional: dado que B ocorreu, qual a probabilidade de A? O denominador é a probabilidade total de B, calculada pela lei da probabilidade total.

"Bayes' theorem gives a mathematical rule for revising an estimate or forecast in light of experience and new information." — OpenIntro Statistics §3.2

Mapa por trimestre

Trim	Tópicos centrais	Aulas
1	Conjuntos, funções, taxa de variação, exponencial/log	1–10
2	Trigonometria, sequências (PA/PG), limite intuitivo	11–20
3	Geometria analítica, cônicas, vetores, sistemas lineares	21–30
4	Matrizes, determinantes, combinatória, probabilidade	31–40

Exemplos resolvidos

Example— 1· Função composta + taxa de variação (Trim 1)

Problema: Sejam $f(x) = x^2 - 1$ e $g(x) = 2x + 3$ . (a) Calcule $(f \circ g)(x)$ . (b) Calcule $\text{TVM}_{[0,2]}$ de $h = f \circ g$ .

Estratégia: Composição primeiro; depois aplica a definição de TVM. Dois conceitos do Trim 1 encadeados.

Resolução:

Composição: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+3) = (2x+3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 8$ .
TVM no intervalo $[0, 2]$ :

$\text{TVM}_{[0,2]} = \frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{(4 \cdot 4 + 24 + 8) - (0 + 0 + 8)}{2} = \frac{48 - 8}{2} = 20.$

Verificação: $h(0) = 4(0) + 12(0) + 8 = 8$ . $h(2) = 4(4) + 12(2) + 8 = 16 + 24 + 8 = 48$ . $\frac{48-8}{2} = 20$ . Correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Lei dos cossenos + identidade trigonométrica (Trim 2)

Problema: Em um triângulo com $a = 7$ , $b = 5$ e $C = 120°$ , determine o lado $c$ e o $\cos A$ .

Estratégia: Lei dos cossenos para $c$ ; depois segunda aplicação para $\cos A$ . Encadeia dois usos da mesma lei.

Resolução:

Calcular $c$ :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos(120°).$

$\cos(120°) = -\frac{1}{2}, \text{ então } c^2 = 74 - 70 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 74 + 35 = 109.$

$c = \sqrt{109} \approx 10{,}44.$

Calcular $\cos A$ (lei dos cossenos: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ ):

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 109 - 49}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{109}} = \frac{85}{10\sqrt{109}}.$

Verificação: $85 / (10\sqrt{109}) \approx 85/104{,}4 \approx 0{,}814$ , logo $A \approx 35{,}4°$ . Ângulo menor que $C = 120°$ — consistente com o lado oposto $a = 7 < c = \sqrt{109}$ .

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Cônica + sistema linear (Trim 3 cruzado com Trim 4)

Problema: Determine os pontos de interseção da elipse $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ com a reta $y = x - 1$ .

Estratégia: Substituir a reta na equação da cônica gera uma equação quadrática. Sistema cônica + reta — problema clássico de geometria analítica.

Resolução:

Substituir $y = x - 1$ :

$\frac{x^2}{25} + \frac{(x-1)^2}{9} = 1.$

MMC = 225, multiplicar tudo por 225:

$9x^2 + 25(x-1)^2 = 225.$

$9x^2 + 25x^2 - 50x + 25 = 225 \implies 34x^2 - 50x - 200 = 0 \implies 17x^2 - 25x - 100 = 0.$

Resolver pela fórmula de Bhaskara:

$\Delta = 625 + 4 \cdot 17 \cdot 100 = 625 + 6800 = 7425.$

$x = \frac{25 \pm \sqrt{7425}}{34} = \frac{25 \pm 15\sqrt{33}}{34}.$

Coordenadas $y$ : $y = x - 1$ em cada caso.

Verificação: os dois pontos satisfazem ambas as equações (verificar numericamente substituindo $x \approx 3{,}28$ e $x \approx -1{,}81$ ).

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §12.3 — CC-BY 4.0.

Example— 4· Determinante + probabilidade condicional (Trim 4)

Problema: A matriz $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & k-1 \end{pmatrix}$ tem determinante zero para $k = ?$ . Em seguida: em uma urna com 4 bolas vermelhas e 6 azuis, retira-se uma bola sem reposição. Qual a probabilidade de a segunda ser azul, dado que a primeira foi vermelha?

Estratégia: Dois problemas do Trim 4 em sequência — determinante e probabilidade condicional.

Resolução:

Parte 1 — Determinante:

$\det A = k(k-1) - 6 = k^2 - k - 6 = (k-3)(k+2) = 0.$

Logo $k = 3$ ou $k = -2$ .

Parte 2 — Probabilidade condicional:

Evento $B_2$ : segunda bola é azul. Evento $V_1$ : primeira bola é vermelha.

$P(B_2 | V_1) = \frac{\text{azuis restantes}}{\text{total restante}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$

Verificação: Após retirar uma bola vermelha, restam $10 - 1 = 9$ bolas, das quais 6 são azuis. Correto.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §11.4 e §11.5 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Problema integrador (Trim 1 + 2 + 3 + 4)

Problema: Uma empresa modela seu lucro mensal (em mil reais) por $L(t) = 10 + 3t - t^2/10$ , onde $t$ é o mês ( $t = 1, 2, \ldots, 12$ ). (a) Calcule a TVM de $L$ entre $t = 2$ e $t = 8$ . (b) O vetor $\mathbf{v} = (L(3),\, L(6))$ aponta para que quadrante? (c) Quantas estratégias de marketing são possíveis se a empresa escolhe 2 entre 5 canais disponíveis (ordem não importa)?

Estratégia: Parte (a) usa Trim 1 (TVM). Parte (b) usa Trim 3 (vetores no plano). Parte (c) usa Trim 4 (combinações). Problema integrador explícito.

Resolução:

Parte (a) — TVM:

$L(2) = 10 + 6 - 0{,}4 = 15{,}6$ . $L(8) = 10 + 24 - 6{,}4 = 27{,}6$ .

$\text{TVM}_{[2,8]} = \frac{27{,}6 - 15{,}6}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2.$

Lucro cresce 2 mil reais por mês, em média, nesse período.

Parte (b) — Vetor:

$L(3) = 10 + 9 - 0{,}9 = 18{,}1$ e $L(6) = 10 + 18 - 3{,}6 = 24{,}4$ .

$\mathbf{v} = (18{,}1;\, 24{,}4)$ . Ambas as coordenadas positivas: primeiro quadrante.

Parte (c) — Combinações:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10 \text{ estratégias possíveis}.$

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §11.3 e §11.5 — CC-BY 4.0.

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 9Modeling 9Challenge 3Proof 1

Ex. 40.1Application
Qual é o domínio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 9)$ ?
Solve online
Ex. 40.2ApplicationAnswer key
Calcule a taxa de variação média de $f(x) = x^2 - 3x$ no intervalo $[1, 4]$ .
Solve online
Ex. 40.3ApplicationAnswer key
Sejam $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2x + 1$ . Calcule $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(2)$ .
Solve online
Ex. 40.4Application
Encontre a função inversa de $f(x) = \dfrac{x - 3}{2}$ .
Solve online
Ex. 40.5Application
Resolva a equação exponencial $4^x = 32$ .
Solve online
Ex. 40.6Modeling
Uma colônia de bactérias começa com 100 unidades e dobra a cada 30 minutos. Quantas bactérias haverá após 3 horas?
Solve online
Ex. 40.7Modeling
Um capital de R$ 1.000 é aplicado a 10% ao ano (juros compostos). Qual o montante após 7 anos?
Solve online
Ex. 40.8Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{n + 1}$ .
Solve online
Ex. 40.9ApplicationAnswer key
Para $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , determine o vértice e as raízes da função.
Solve online
Ex. 40.10Understanding
A taxa de variação média de $f(x) = x^2$ é constante para quaisquer intervalos $[a, b]$ ?
Solve online
Ex. 40.11UnderstandingAnswer key
Qual o domínio de $g(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$ ?
Solve online
Ex. 40.12UnderstandingAnswer key
Qual é a inversa de $f(x) = 3^x$ , e qual é o domínio de $f^{-1}$ ?
Solve online
Ex. 40.13Application
Calcule $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
Solve online
Ex. 40.14Application
Resolva $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 40.15Application
Em um triângulo com $a = 5$ , $b = 7$ e $C = 60°$ , calcule o lado $c$ pela lei dos cossenos.
Solve online
Ex. 40.16Modeling
A altura da maré (em metros) é modelada por $h(t) = 2 + 1{,}5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ . Quais são as alturas máxima e mínima?
Solve online
Ex. 40.17Application
Numa PA com $a_1 = 3$ e razão $r = 5$ , calcule $a_{20}$ e $S_{20}$ .
Solve online
Ex. 40.18ApplicationAnswer key
Numa PG com $a_1 = 2$ e razão $q = 3$ , calcule $S_8$ .
Solve online
Ex. 40.19Application
Calcule a soma $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$
Solve online
Ex. 40.20ApplicationAnswer key
Calcule $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$ pela fórmula de Gauss.
Solve online
Ex. 40.21Modeling
O período de um pêndulo simples de comprimento $L = 1$ m é dado por $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , com $g = 9{,}8$ m/s². Calcule $T$ .
Solve online
Ex. 40.22Understanding
Uma substância radioativa tem meia-vida de 5 dias. Começando com 100 g, quanto resta após 25 dias?
Solve online
Ex. 40.23Application
Calcule a distância entre os pontos $(2, 3)$ e $(8, 11)$ .
Solve online
Ex. 40.24Application
Determine a equação da reta que passa pelos pontos $(0, 4)$ e $(2, 0)$ .
Solve online
Ex. 40.25Application
Escreva a equação da circunferência com centro $(2, -1)$ e raio $5$ .
Solve online
Ex. 40.26Application
Calcule o produto escalar dos vetores $(3, 4)$ e $(1, 2)$ , e o ângulo entre eles.
Solve online
Ex. 40.27Application
Calcule o determinante de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 40.28ApplicationAnswer key
Resolva o sistema $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ pela regra de Cramer.
Solve online
Ex. 40.29Application
Calcule $A^{-1}$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 40.30Understanding
Qual das seguintes identidades matriciais é verdadeira para matrizes $A$ e $B$ compatíveis?
Solve online
Ex. 40.31Modeling
Um avião voa a 600 km/h em direção norte. Há um vento de 80 km/h em direção leste. Qual a velocidade resultante e a direção efetiva?
Solve online
Ex. 40.32Understanding
Identifique a cônica $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ e determine seus semi-eixos e focos.
Solve online
Ex. 40.33ChallengeAnswer key
Quantos pontos a reta $y = x - 1$ tem em comum com a circunferência $x^2 + y^2 = 25$ ? Justifique pelo discriminante e encontre os pontos.
Solve online
Ex. 40.34UnderstandingAnswer key
Classifique o sistema $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 7 \end{cases}$ (possível/impossível; solução única/infinitas).
Solve online
Ex. 40.35UnderstandingAnswer key
É verdade que $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ para matrizes quadradas invertíveis $A$ e $B$ ?
Solve online
Ex. 40.36ChallengeAnswer key
Para quais valores de $k$ a matriz $\begin{pmatrix} k & 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}$ é singular (determinante zero)?
Solve online
Ex. 40.37Application
Calcule $5!$
Solve online
Ex. 40.38Application
Calcule $\dbinom{8}{3}$ .
Solve online
Ex. 40.39Application
Quantos anagramas (arranjos de todas as letras) tem a palavra "PROBLEMA", cujas 8 letras são todas distintas?
Solve online
Ex. 40.40Modeling
Um restaurante oferece 5 opções de entrada, 4 de prato principal e 3 de sobremesa. Quantos menus distintos de 3 itens (um de cada) são possíveis?
Solve online
Ex. 40.41Modeling
Na Mega-Sena, o jogador escolhe 6 números entre 60. Qual a probabilidade de acertar os 6 números sorteados?
Solve online
Ex. 40.42Application
Lança-se uma moeda honesta 3 vezes. Qual a probabilidade de obter 3 caras?
Solve online
Ex. 40.43Application
$X \sim \mathrm{Bin}(6,\ 0{,}5)$ . Calcule $P(X = 3)$ .
Solve online
Ex. 40.44Modeling
Doença rara com $P(D) = 0{,}001$ . Teste com sensibilidade $99\%$ e especificidade $95\%$ . Dado que o teste deu positivo, qual a probabilidade de ter a doença?
Solve online
Ex. 40.45Application
Uma urna tem 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Retira-se uma sem reposição. Dado que a primeira foi vermelha, qual a probabilidade de a segunda ser azul?
Solve online
Ex. 40.46Understanding
Qual é a identidade de Pascal para os coeficientes binomiais?
Solve online
Ex. 40.47Modeling
De 5 candidatos, quantas comissões distintas de 2 membros podem ser formadas (a ordem não importa)?
Solve online
Ex. 40.48Application
$P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}4$ e $P(A \cap B) = 0{,}1$ . Calcule $P(A \cup B)$ .
Solve online
Ex. 40.49Challenge
Resolva $\sin x + \cos x = 1$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 40.50Proof
Prove a identidade de Pascal $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}$ usando argumento combinatório (contagem por casos). Mostre cada passo da partição.

Fontes desta lição

Workshop reúne fontes do Ano 1 inteiro. Todas as fontes abaixo são de acesso aberto e licença compatível com uso educacional não-comercial.

Stitz–Zeager Precalculus — Stitz, Zeager · 2013, v3.07 · EN · CC-BY-NC-SA. §1–§11: funções, trig, sequências, cônicas.
OpenStax College Algebra 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed. · EN · CC-BY 4.0. §2–§11: funções, sistemas, matrizes, combinatória, probabilidade.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed. · EN · CC-BY 4.0. §7–§12: trigonometria, vetores, cônicas, sequências.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA. §1.2–§1.3: limites intuitivos e taxa de variação.
OpenIntro Statistics, 4th ed. — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. §3.1–§3.4: probabilidade clássica, condicional, Bayes, binomial.
Book of Proof — Richard Hammack · 3ª ed. · EN · CC-BY-ND. §3.4: combinatória, identidade de Pascal.

Catálogo completo em /livros.

Próximo: Ano 2 — Cálculo Diferencial

Trim 5 começa em /aulas/ano-2/trim-5/licao-41-limite-formal — limite formal com épsilon-delta, derivada, aplicações.

Síntese axiomática do Ano 1

Os quatro pilares

O fio condutor

Mapa por trimestre

Exemplos resolvidos

Fontes desta lição

Próximo: Ano 2 — Cálculo Diferencial