v1 · padrão canônico

41강 — 형식적 극한: ε-δ 정의

ε-δ 극한의 정의. 코시 1821, 바이어슈트라스 1872. 미적분이 엄밀해지는 지점.

Used in: 2학년 고등학교 (16-17세) · 일본 수학 II 동등 · 독일 11학년 (해석) · A-Level Further Maths — Limits

\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

엄밀한 정의

극한의 ε-δ 정의

"우리는 $x$ 가 $a$ 에 접근할 때 $f(x)$ 의 극한이 $L$ 과 같다고 말합니다, … $f(x)$ 의 값들을 임의로 $L$ 에 가깝게 만들 수 있다면, $x$ 를 충분히 $a$ 에 가깝게 제한하면 됩니다 ( $a$ 의 양쪽)하지만 $a$ 와는 같지 않습니다." — OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2

방법 ε-δ: 증명을 구성하는 방법

$|f(x) - L|$ 을 쓰고 $|x - a|$ 의 배수가 나타날 때까지 대수적으로 조작합니다.
$|x - a| < 1$ (또는 다른 상수)로 제한하여 추가 요인들을 제어합니다.
$\delta = \min\bigl(1,\; \varepsilon / C\bigr)$ 을 선택합니다. 여기서 $C$ 는 얻은 계수입니다.
연쇄 $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$ 가 닫히는지 확인합니다.

모델 증명: $\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7$

거친 계산: $|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$ . $3|x-2| < \varepsilon$ 이려면, $|x-2| < \varepsilon/3$ 이면 됩니다.

형식적 증명: $\varepsilon > 0$ 이 주어졌을 때, $\delta = \varepsilon/3$ 을 택합니다. $0 < |x - 2| < \delta$ 이면, $|f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \quad \square$

무한에서의 극한과 극한으로서의 무한

Definition· 네 가지 극한의 종류

유형	정의
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow f(x)>M$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow f(x)>M$

극한의 대수적 성질

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 과 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ 이라 합시다. 그러면:

\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M, \qquad \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M

what this means · 극한의 덧셈과 곱셈. ε-δ로 직접 증명할 수 있으며 삼각부등식을 사용합니다.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M\neq 0

what this means · 극한의 몫: 분모의 극한이 0이 아닐 때 유효합니다.

중요한 극한

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{\!x}=e

what this means · 미적분의 네 가지 기본 극한으로, 모든 부정형 해결에 사용됩니다.

풀이된 예제

Example— 1· 수치 표를 통한 직관적 계산 (응용)

문제. 수치적으로 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 를 추정하고 대수적으로 확인합니다.

전략. 직접 대입이 $0/0$ 을 생성할 때, 수치 표는 값을 제안하고 인수분해가 확인합니다.

풀이:

$x = 2$ 근처의 값 표 ( $x \neq 2$ ):

$x$	$(x^2-4)/(x-2)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

표는 $\lim = 4$ 를 제안합니다.

대수적 확인: $x \neq 2$ 일 때, $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$ 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2) = 4$ .

검증: 인수분해는 부정형을 야기한 인수 $(x-2)$ 를 약분합니다. 값 $f(2)$ 는 정의되지 않지만, 극한이 존재하고 4입니다.

출처. Active Calculus §1.2, Preview Activity 1.2.1 — 라이선스 CC-BY-SA.

Example— 2· 선형함수에 대한 형식적 ε-δ 증명 (형식적)

문제. ε-δ로 엄밀하게 증명합니다: $\displaystyle\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ .

전략. $|f(x) - L|$ 을 $|x - a|$ 의 항으로 표현하고, 선형 관계를 식별하고, $\delta = \varepsilon / C$ 를 선택합니다.

풀이:

거친 계산 ( $\delta$ 의 선택을 안내하기 위해): $|f(x) - 13| = |5x - 2 - 13| = |5x - 15| = 5|x - 3|.$ $5|x-3| < \varepsilon$ 이려면, $|x - 3| < \varepsilon/5$ 이 필요합니다.

형식적 증명: $\varepsilon > 0$ 이 주어졌을 때, $\delta = \varepsilon/5$ 을 택합니다. $0 < |x - 3| < \delta$ 라고 가정합니다. 그러면: $|(5x - 2) - 13| = 5|x - 3| < 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.$ 따라서 정의에 의해, $\displaystyle\lim_{x\to 3}(5x - 2) = 13$ . $\square$

참고: 선형 함수 $f(x) = mx + b$ 에 대해, 관계 $|f(x) - (ma+b)| = |m|\cdot|x-a|$ 는 항상 직접적입니다. $\delta = \varepsilon/|m|$ 은 추가 제약 없이 작동합니다.

검증: $\varepsilon = 0{,}1$ 을 택하면: $\delta = 0{,}02$ . $|x - 3| < 0{,}02$ 이면, $|5x - 15| = 5|x-3| < 5(0{,}02) = 0{,}1 = \varepsilon$ . 확인됨.

출처. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.5, Example 2.39 — 라이선스 CC-BY-NC-SA.

Example— 3· 일측극한과 극한의 존재 (이해)

문제. $x \neq 0$ 일 때 함수 $f(x) = |x|/x$ 를 생각합시다. $x = 0$ 에서의 일측극한을 계산하고, $\lim_{x \to 0} f(x)$ 가 존재하는지 결정합니다.

전략. 우극한과 좌극한을 각각 계산합니다. 양측극한은 둘 다 일치할 때만 존재합니다.

풀이:

관찰하세요: $f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}$

우극한 ( $x \to 0^+$ , 즉 $x > 0$ ): $f(x) = 1$ for all $x > 0$ 이므로 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .

좌극한 ( $x \to 0^-$ , 즉 $x < 0$ ): $f(x) = -1$ for all $x < 0$ 이므로 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ 이므로, 일측극한이 다릅니다.

결론: $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ 존재하지 않습니다.

검증: $f$ 의 그래프는 $x = 0$ 에서 계단 모양입니다. 가장 간단한 점프 불연속성입니다.

출처. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2, Example 2.7 — 라이선스 CC-BY-NC-SA.

Example— 4· 유리함수의 무한에서의 극한 (응용)

문제. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7}$ 를 계산합니다.

전략. 분자와 분모를 $x$ 의 최고차 ( $x^2$ )로 나누고, 모든 상수 $k$ 와 $n > 0$ 에 대해 $k/x^n \to 0$ 이라는 사실을 사용합니다.

풀이:

모두 $x^2$ 로 나눕니다: $\frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7} = \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2}.$

$x \to +\infty$ 일 때: $5/x \to 0$ , $1/x^2 \to 0$ , $7/x^2 \to 0$ . 따라서: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}.$

일반 규칙: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$ 에 대해, 결과는 $n$ vs. $m$ 에 의존합니다:

$n < m$ : 극한 $= 0$ .
$n = m$ : 극한 $= a_n/b_m$ .
$n > m$ : 극한 $= \pm\infty$ (부호에 의존).

검증: $x = 1000$ 에서: $(3 \cdot 10^6 + 5000 - 1)/(2 \cdot 10^6 - 7) \approx 3005000/1999993 \approx 1{,}5025$ — $3/2$ 로 수렴합니다. ✓

출처. APEX Calculus §1.6, Example 1.6.1 — 라이선스 CC-BY-NC.

Example— 5· 극한이 존재하지 않음 — 진동 (도전)

문제. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ 가 존재하지 않음을 보입니다.

전략. 하이네의 수열적 특성을 사용합니다: 극한이 존재한다면, $x_n \to 0$ 이고 $x_n \neq 0$ 인 모든 수열은 $f(x_n) \to L$ 을 생성할 것입니다. 서로 다른 값으로 수렴하는 이미지를 가진 두 수열을 제시합니다.

풀이:

두 수열을 고려합니다: $x_n = \frac{1}{2n\pi} \quad \text{그리고} \quad y_n = \frac{2}{(4n+1)\pi}, \quad n \in \mathbb{N}.$

둘 다 $x_n \to 0$ 이고 $y_n \to 0$ 을 만족합니다 (분모가 제한 없이 커집니다).

$x_n$ 에 대해: $\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right) = \sin(2n\pi) = 0 \quad \text{모든 } n.$ 따라서 $f(x_n) \to 0$ .

$y_n$ 에 대해: $\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right) = \sin\!\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right) = \sin\!\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{모든 } n.$ 따라서 $f(y_n) \to 1$ .

$x_n \to 0$ 인 두 수열이 서로 다른 극한 (0과 1)을 생성하므로, 하이네의 특성에 의해 극한 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ 존재하지 않습니다. $\square$

참고: 그래프는 $x \to 0$ 일 때 $-1$ 과 $1$ 사이에서 무한히 진동합니다. 특정 값이 특별하지 않습니다.

출처. Active Calculus §1.2, Activity 1.2.3 — 라이선스 CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 10Modeling 7Challenge 3Proof 2

Ex. 41.1Application
$\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1)$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.2Application
$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.3Application
$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.4Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.5Application
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x + 5}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.6Application
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.7Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.8ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.9ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.10Application
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\!x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.11Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.12ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.13Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.14Application
$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.15Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.16Application
$\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.17Application
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.18Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.19UnderstandingAnswer key
$\lim_{x \to a} f(x)$ 가 존재하려면, $f(a)$ 가 정의되어야 필요한가요?
Solve online
Ex. 41.20Understanding
극한 $\lim_{x \to a} f(x)$ 가 존재하는 조건은 무엇인가요?
Solve online
Ex. 41.21Understanding
극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ 가 존재하나요? 일측극한을 계산하고 결론을 내립시오.
Solve online
Ex. 41.22UnderstandingAnswer key
극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ 가 존재하나요?
Solve online
Ex. 41.23Understanding
어떤 상황이 $x = 2$ 에서 극한이 없는 함수를 나타내나요?
Solve online
Ex. 41.24UnderstandingAnswer key
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 의 ε-δ 정의를 기억으로 작성하고, 각 양화사의 역할을 설명하십시오.
Solve online
Ex. 41.25Understanding
$f(x) = 1$ for $x > 0$ and $f(x) = -3$ for $x \leq 0$ 를 생각하십시오. $x = 0$ 에서의 일측극한을 계산하고, 양측극한이 존재하는지 결정하십시오.
Solve online
Ex. 41.26UnderstandingAnswer key
조임 정리로 정당화하면서 $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.27Understanding
함수 $f(x) = (x^2 - 9)/(x-3)$ 는 $x = 3$ 에서 정의되지 않습니다. $\lim_{x \to 3} f(x)$ 를 계산하고, 극한이 존재하는 이유를 설명하십시오.
Solve online
Ex. 41.28Understanding
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ 를 계산하고, 결과가 $\lim_{x\to 0}1/x$ 와 다른 이유를 설명하십시오.
Solve online
Ex. 41.29Modeling
RC 회로에서, 커패시터의 전압은 $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/\tau})$ 이며, 여기서 $\tau > 0$ 입니다. $\lim_{t \to +\infty} V(t)$ 를 계산하고, 결과를 물리적으로 해석하십시오.
Solve online
Ex. 41.30Modeling
물체의 위치는 $s(t) = t^2$ 미터입니다. 극한의 정의를 사용하여, 순간 속도 $v(t) = \lim_{h \to 0}\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.31Modeling
약물동력학에서, 약물의 농도는 $C(t) = C_0 e^{-kt}$ with $k > 0$ 입니다. $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ 를 계산하고, 결과를 해석하십시오.
Solve online
Ex. 41.32Modeling
제어 이론에서, 1차 시스템의 전달 함수는 $H(s) = K/(s+1)$ 입니다. DC 이득 $\lim_{s \to 0} H(s)$ 을 계산하고, 그것이 나타내는 것을 말합니다.
Solve online
Ex. 41.33ModelingAnswer key
인구 증가 모델에서, 1인당 성장률은 $r(x) = (\ln x)/x$ 로 감소합니다. $\lim_{x \to +\infty} r(x)$ 를 계산하고 해석합니다.
Solve online
Ex. 41.34Modeling
테일러 절단 오류는 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)-hf'(0)}{h^2}$ 을 만족합니다. $f(x) = e^x$ 에 대해, 이 극한을 계산하고 해석합니다.
Solve online
Ex. 41.35ModelingAnswer key
극한이 존재할 때, $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ 가 나타내는 것은 무엇입니까? 이름, 기하학적 해석, 물리적 해석을 제공합니다.
Solve online
Ex. 41.36ProofAnswer key
ε-δ로 엄밀하게 증명합니다: $\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ . 거친 계산, 델타의 선택, 형식적 증명을 보여줍니다.
Solve online
Ex. 41.37Proof
ε-δ로 증명합니다: $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ . 델타 선택에서 min이 필요한 이유를 보여줍니다.
Solve online
Ex. 41.38Challenge
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.39Challenge
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ 를 계산합니다.
Solve online
Ex. 41.40Challenge
ε-δ로 증명합니다: $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$ . 완전한 전략을 보여줍니다: 거친 계산, 제약, 델타의 선택, 형식적 증명.
Solve online

출처

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.1–1.3 · CC-BY-SA. 주요 출처. 예제 1, 3, 5 및 블록 A, C의 연습이 이 저작에서 개작됨.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.2–2.5 · CC-BY-NC-SA. 형식적 정의 §2.5, 블록 A, B, D의 연습.
APEX Calculus — Gregory Hartman · Virginia Military Institute · 2023 · §1.1–1.6 · CC-BY-NC. 무한에서의 극한 연습 및 블록 D의 도전.
Cours d'analyse — Augustin-Louis Cauchy · 1821 · public domain. 극한의 형식적 정의의 역사적 원천.