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42강 — 극한의 대수적 성질

극한의 법칙(합, 곱, 몫, 거듭제곱, 근호), 직접 대입, 0/0 꼴의 부정형을 인수분해와 유리화로 해결, 조임정리

Used in: 고등학교 2학년(16-17세) · 일본 수학 II 동등 과정(極限の性質) · 독일 고급과정 극한값 규칙

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

연산 성질과 조임정리

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이고 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ 이며, $L, M \in \mathbb{R}$ 이라 하자. 다음 법칙들은 $x \to a$ , $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to \pm\infty$ 에서 모두 성립한다.

극한의 대수적 법칙

Definition· 극한의 법칙 (Boelkins §1.4 / OpenStax §2.3)

법칙	진술	제약 조건
합 / 차	$\lim (f \pm g) = L \pm M$	없음
상수배	$\lim (c \cdot f) = cL$	$c \in \mathbb{R}$
곱	$\lim (f \cdot g) = L \cdot M$	없음
몫	$\lim (f/g) = L/M$	$M \neq 0$
거듭제곱	$\lim f^n = L^n$	$n \in \mathbb{N}$
근호	$\lim \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L}$	$n$ 이 짝수이면 $L \geq 0$
절댓값	$\lim \lvert f \rvert = \lvert L \rvert$	없음

"만약 $\lim_{x\to a} f(x) = L$ 이고 $\lim_{x\to a} g(x) = M$ 이면, $\lim_{x\to a}[f(x) + g(x)] = L + M$ 이다." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.4

"만약 $\lim_{x\to c} f(x) = L$ 이고 $\lim_{x\to c} g(x) = K$ 이면, $\lim_{x\to c}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot K$ 이다." — APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.1

직접 대입 성질

합성

$\lim_{x \to a} g(x) = b$ 이고 $f$ 가 $b$ 에서 연속이면: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b) = f\!\left(\lim_{x \to a} g(x)\right).$

연속성이 없을 때 반례. $g(x) = 0$ (상수)이고 $f$ 가 $0$ 에서 불연속이라 하자. 그러면 $\lim g = 0$ 이지만 $\lim f(g(x)) = f(0) \neq \lim_{t \to 0} f(t)$ .

조임정리

"만약 $a$ 를 포함하는 열린 구간의 모든 $x \neq a$ 에서 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 이고 $\lim_{x\to a} g(x) = L = \lim_{x\to a} h(x)$ 이면, $\lim_{x\to a} f(x) = L$ 이다." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.7

고전적 응용. $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0$ 의 경우: $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ 이므로 $-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2$ 이다. $\lim_{x \to 0}(\pm x^2) = 0$ 이므로, 극한은 $0$ 이다.

부정형과 해결 기법

직접 대입이 $0/0$ 또는 $\infty/\infty$ 를 주면, 대수적 성질은 직접 적용되지 않는다:

부정형의 종류별 기법 선택 다이어그램.

풀이된 예제

Example— 1· 다항식에서 직접 대입

문제. $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$ 을 계산하라.

전략. 다항식은 모든 점에서 연속이다. 직접 대입 성질을 적용하라.

풀이.

$x = 3$ 에서 함수가 연속임을 확인하라. 모든 다항식은 $\mathbb{R}$ 에서 연속이다. 극한은 단순히 $x = 3$ 에서의 함수값이다.
$x = 3$ 을 대입하라: $\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4.$
작동하는 이유. 대수적 법칙으로: $\lim x^2 = 9$ (거듭제곱 법칙), $\lim 2x^2 = 18$ (상수배), $\lim 5x = 15$ , $\lim 1 = 1$ (상수). 더하면: $18 - 15 + 1 = 4$ .

검증. $x = 3{,}01$ 일 때: $2(3{,}01)^2 - 5(3{,}01) + 1 = 18{,}1202 - 15{,}05 + 1 = 4{,}0702 \approx 4$ . 일치한다.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· 인수분해로 0/0 부정형 풀기

문제. $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ 을 계산하라.

전략. 직접 대입이 $0/0$ 을 낳는다. 분자는 제곱의 차다 — 인수분해하고 공통 인수 $(x - 2)$ 를 약분하라.

풀이.

직접 대입을 시도하라. $\dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$ — 부정형. 대수 조작이 필요하다.
분자를 인수분해하라. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
공통 인수를 약분하라. $x \neq 2$ 일 때: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$
극한을 계산하라. 직접 대입을 적용하라: $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4.$

검증. $x = 2{,}01$ 일 때: $\dfrac{(2{,}01)^2 - 4}{2{,}01 - 2} = \dfrac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01 \approx 4$ . 일치한다.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· 유리화로 0/0 부정형 풀기

문제. $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ 을 계산하라.

전략. 대입이 $0/0$ 을 낳는다. 분자의 근호를 켤레 $(\sqrt{x+4} + 2)$ 로 곱해서 제거하라.

풀이.

직접 대입을 시도하라. $\dfrac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \dfrac{0}{0}$ — 부정형.
켤레를 곱하라. $x \neq 0$ 일 때: $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}.$
$x$ 를 약분하라 (유효함. $x \neq 0$ 이므로): $= \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.$
직접 대입을 적용하라: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}.$

검증. $x = 0{,}01$ 일 때: $\dfrac{\sqrt{4{,}01} - 2}{0{,}01} \approx \dfrac{0{,}0025}{0{,}01} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ . 일치한다.

출처. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· 진동함수와 조임정리

문제. $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0$ 임을 증명하라.

전략. $\cos(1/x)$ 함수는 $x \to 0$ 일 때 무한히 진동한다 — 직접 극한을 계산할 수 없다. 하지만 $|\cos(1/x)| \leq 1$ 항상 성립. 조임정리를 사용하라.

풀이.

상한을 정하라. 모든 $x \neq 0$ 에 대해: $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1.$
$x^2 \geq 0$ 으로 곱하라 (부등식을 뒤집지 않음): $-x^2 \leq x^2 \cos(1/x) \leq x^2.$
상한의 극한을 계산하라: $\lim_{x \to 0}(-x^2) = 0 \quad \text{그리고} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$
조임정리를 적용하라. $f(x) = x^2 \cos(1/x)$ 가 $-x^2$ 과 $x^2$ 사이에 갇혀있고, 둘 다 극한이 $0$ 이므로: $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0. \quad \blacksquare$

조임정리가 필요한 이유. 곱의 법칙은 $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ 가 존재하기를 요구하는데 — 하지만 그것은 존재하지 않는다 ( $-1$ 과 $1$ 사이에서 진동). 조임정리는 이 어려움을 우회한다.

출처. APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.7 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· 무한에서의 유리함수 극한

문제. $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$ 을 계산하라.

전략. $\infty/\infty$ 꼴 — 분자와 분모의 차수가 모두 2다. 모든 것을 $x^2$ 로 나눠 최고 계수를 드러내라.

풀이.

차수를 확인하라. 분자: 차수 2. 분모: 차수 2. $\infty/\infty$ 꼴.
분자와 분모를 $x^2$ 로 나누라: $\frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4} = \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2}.$
각 항을 계산하라. $x \to \infty$ 일 때: $1/x \to 0$ 이고 $1/x^2 \to 0$ .
대수적 법칙을 적용하라: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 3.$

일반적 결과. 차수가 같을 때, 극한은 최고 계수의 비다.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.20 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 7Modeling 2Challenge 1Proof 1

Ex. 42.1Application
$\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x - 1)$ 을 계산하라.
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Ex. 42.2Application
$\lim_{x \to 1}\sqrt{x^2 + 3}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.3ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0}\dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.4Application
$\lim_{x \to -1}(x^3 + 2x^2 - x + 4)$ 을 계산하라.
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Ex. 42.5Application
$\lim_{x \to 1}(x^3 + 2x^2 + 3x)$ 을 계산하라.
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Ex. 42.6Application
$\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.7Application
$\lim_{x \to -2}\dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.8ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 1}\sqrt[3]{x^2 + 7}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.9Application
$\lim_{x \to 2}(x^2 - 1)(3x + 2)$ 을 계산하라.
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Ex. 42.10Application
$\lim_{x \to 0}(2x + 3)^4$ 을 계산하라.
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Ex. 42.11Application
$\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.12Application
$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2 + 2x}{x}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.13Application
$\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.14Application
$\lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.15Application
$\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.16Application
$\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$ 을 계산하라.
Solve online
Ex. 42.17ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.18Application
$\lim_{x \to 4}\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ 을 계산하라.
Solve online
Ex. 42.19ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.20ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ 을 계산하라.
Solve online
Ex. 42.21ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.22Application
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.23Application
$\lim_{x \to \infty}\dfrac{2x + 1}{x + 3}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.24Application
$\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - x + 2}{x^2 + 4}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.25Application
$\lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 5}{x^3 - 2}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.26ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 7}\dfrac{x^2 - 5x - 14}{x - 7}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.27Application
$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x)$ 을 계산하라.
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Ex. 42.28Application
$\lim_{x \to 0} x \cos(1/x)$ 을 계산하라.
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Ex. 42.29Application
$\lim_{x \to \infty}\dfrac{\sin x}{x}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.30Understanding
$\lim_{x \to 5}(3x^2 - x + 7)$ 을 계산하기 위해 $x = 5$ 를 직접 대입하면 충분한가?
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Ex. 42.31UnderstandingAnswer key
극한의 몫의 법칙에 대해 어떤 설명이 맞는가?
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Ex. 42.32UnderstandingAnswer key
$\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ 는 무엇이며, 곱의 법칙이 적용되지 않는 이유는?
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Ex. 42.33Understanding
$\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 에 몫의 법칙을 직접 적용하려고 할 때 무엇이 일어나는가?
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Ex. 42.34Understanding
$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x)$ 를 계산하기에 가장 적절한 기법은?
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Ex. 42.35UnderstandingAnswer key
부정형 $0/0$ 이 분자와 분모에 대해 대수적으로 무엇을 뜻하는가?
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Ex. 42.36Understanding
모든 $x \neq 0$ 에 대해 $3 - x^2 \leq f(x) \leq 3 + x^2$ 임을 안다. $\lim_{x \to 0} f(x)$ 를 구하고 정당화하라.
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Ex. 42.37Modeling
제어 공학에서, 시스템의 전달함수는 $H(s) = \dfrac{s + 2}{s^2 + 3s + 2}$ 이다. DC 이득을 계산하라: $\lim_{s \to 0} H(s)$ .
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Ex. 42.38Modeling
입자의 위치는 $s(t) = t^2$ 미터다. $t = 1$ 에서의 순간 속도를 계산하라: $\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t}$ .
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Ex. 42.39Challenge
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos x - \cos 2x}{x^2}$ 을 계산하라.
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Ex. 42.40Proof
증명. 엡실론-델타로 $\lim_{x \to 0} 3x = 0$ 을 증명하여 이 경우에 상수배 법칙을 확인하라.
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출처

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws) 및 §2.4 (Continuity) · CC-BY-NC-SA 4.0. 직접 대입, 인수분해, 유리화, 무한 극한 연습의 주요 출처.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §1.3 (Finding Limits Analytically) · CC-BY-NC 4.0. 조임정리 연습과 도전 문제의 주요 출처.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. 개념적 동기, 발견 활동, 연습 42.36의 참고 자료.