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45강 — 미적분의 기본 극한

미적분의 다섯 가지 원자적 극한: sin(x)/x, (1-cos x)/x, 오일러 수 e의 정의, (e^x-1)/x, ln(1+x)/x. 모든 삼각함수 또는 지수 극한은 이 다섯 가지로 축약된다.

Used in: 2학년 고등학교 (5분기) · 일본 동등과정 (3장 — 특수 극한) · 독일 11학년 동등과정 (삼각함수 극한) · 싱가포르 H2 수학 동등과정 (특수 극한)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

엄밀한 정의와 증명

다섯 가지 원자적 극한

Definition· 미적분의 기본 극한

다음의 다섯 극한들은 모두 로피탈의 정리 없이 증명 가능하다:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

(LF1)

what this means · 삼각함수 기본 극한. 0/0 꼴의 부정형. 원형 부채꼴의 넓이로 조임정리를 이용해 증명된다.

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

(LF2)

what this means · 반각 공식 1 - cos x = 2 sin²(x/2)를 통한 LF1의 결과. 극한값은 1이 아닌 0이다.

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828\ldots

(LF3)

what this means · 오일러 수 e를 정의한다. 수열 (1 + 1/n)^n은 증가하며 3보다 작다.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

(LF4)

what this means · 0/0 꼴의 부정형. e^x의 x=0에서의 미분계수가 1임을 나타낸다. LF3에서 치환으로 유도된다.

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

(LF5)

what this means · 0/0 꼴의 부정형. y = ln(1+x) 치환으로 LF4에서 유도된다.

LF1 증명 — 조임정리

"조임정리(또는 샌드위치 정리)는 직접 계산하기 어려운 함수의 극한을 구하기 위한 강력한 도구이다." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

$\lim_{x \to 0^+} \sin x / x = 1$ 증명:

단위원을 생각하자. $x \in (0, \pi/2)$ 에 대해, 세 넓이를 비교한다:

삼각형 $OAP$ (내접): 넓이 $= \tfrac{1}{2}\sin x$ .
원형 부채꼴 $OAP$ : 넓이 $= \tfrac{1}{2}x$ .
삼각형 $OAT$ (외접): 넓이 $= \tfrac{1}{2}\tan x$ .

내접 삼각형 $\subset$ 부채꼴 $\subset$ 외접 삼각형이므로:

\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}

what this means · x가 (0, pi/2)일 때 성립하는 세 넓이의 부등식.

$\sin x / 2 > 0$ 으로 나누고 역수를 취하면(부등호 방향 바뀜):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$

$x \to 0^+$ 일 때: $\cos x \to 1$ 이고 $1 \to 1$ 이다. 조임정리에 의해, $\sin x / x \to 1$ 이다.

대칭성( $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ )에 의해 결과는 $x \to 0^-$ 에도 성립한다. ∎

LF2 증명

반각 공식 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ 를 이용하면:

$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}$

$x \to 0$ 일 때: 첫 번째 인수 $\to \sin 0 = 0$ 이고 두 번째 인수 $\to 1$ (LF1에 의해). 따라서 곱 $\to 0$ 이다. ∎

LF5 증명

$y = \ln(1+x)$ 라 하면, $e^y = 1 + x$ 이고 $x = e^y - 1$ 이다. $x \to 0$ 일 때, $y \to 0$ 이다. 따라서:

$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{y}{e^y - 1} \xrightarrow{y \to 0} \frac{1}{1} = 1$

분모에서 LF4를 사용했다. ∎

중요한 변형 표

극한	값	유도
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x$	$k$	LF1
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/\sin(mx)$	$k/m$	LF1
$\lim_{x \to 0} \tan x / x$	$1$	LF1
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2$	$1/2$	LF2
$\lim_{x \to 0} \arcsin x / x$	$1$	LF1 (역함수)
$\lim_{x \to 0} \arctan x / x$	$1$	LF1 (역함수)
$\lim_{x \to 0} (e^{kx} - 1)/x$	$k$	LF4
$\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/x$	$\ln a$	LF4
$\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^x$	$e^a$	LF3
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$	$e$	LF3
$\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x}$	$0$	상대적 성장
$\lim_{x \to \infty} (\ln x)/x$	$0$	상대적 성장

풀이된 예제

Example— 1· 조임정리를 이용한 삼각함수 극한

문제: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ 를 계산하시오.

전략: 기본극한 LF1은 $\sin(u)/u \to 1$ (when $u \to 0$ )을 말한다. 사인의 인수가 분모와 일치하도록 식을 다시 쓸 필요가 있다.

풀이:

인수를 식별한다: 사인 내부에 $3x$ 가 있지만 분모는 $5x$ 이다. $\sin(3x)/(3x)$ 형태를 만들어야 한다.
대수적 조작: 3을 곱하고 나누자:

$\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$

LF1을 적용한다: $x \to 0$ 일 때, $3x \to 0$ 이다. 치환 $u = 3x$ 로:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$

조합한다:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$

검증: $x = 0{,}001$ 일 때: $\sin(0{,}003)/0{,}005 \approx 0{,}002999.../0{,}005 \approx 0{,}5999...$ . $3/5 = 0{,}6$ 과 일치한다.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.21 — 라이선스 CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· 삼각함수 항등식을 이용한 (1 - cos x) 극한

문제: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ 를 계산하시오.

전략: 항등식 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ 는 극한을 LF1을 포함하는 두 인수의 곱으로 변환한다.

풀이:

항등식을 적용한다: $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ .
극한을 다시 쓴다:

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{x^2}$

LF1 형태를 강제한다: $x^2 = 4 \cdot (x/2)^2$ 임을 주목하자:

$\frac{\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2$

계산한다:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

검증: $x = 0{,}1$ 일 때: $(1 - \cos 0{,}1)/0{,}01 \approx 0{,}04998...$ 로 $0{,}5$ 와 일치한다.

출처. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — 라이선스 CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· 복리 계산으로 본 오일러 수 e의 정의

문제: 1원을 연 100% 이율로 투자한다. 다음을 계산하시오: (a) 연 복리, (b) 월 복리, (c) 일 복리, (d) 연속 복리.

전략: 연 $n$ 회 복리의 합계는 $(1 + 1/n)^n$ 이다. $n \to \infty$ 일 때 이 곱은 $e$ 로 수렴한다.

풀이:

복리 주기	$n$	$(1 + 1/n)^n$
연	1	$2{,}000000$
반년	2	$2{,}250000$
분기	4	$2{,}441406$
월	12	$2{,}613035$
일	365	$2{,}714567$
시간마다	8760	$2{,}718127$
연속	$\infty$	$e \approx 2{,}718282$

일 복리와 연속 복리 사이의 차이는 투자된 원당 0.000001원에 불과하다. 이는 연속 모델 $V(T) = V_0 e^{rT}$ 을 실무 금융에서 훌륭한 근사로 정당화한다.

형식화: LF3에 의해,

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §3.9 — 라이선스 CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· 합성 극한을 기본 극한으로 축약하기

문제: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x}$ 를 계산하시오.

전략: 식을 LF1 형태의 비로 분해한다. $\tan x = \sin x / \cos x$ 를 사용하여 알려진 인수를 분리한다.

풀이:

$\tan x$ 를 대입한다:

$\frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = \frac{\sin(x^2)}{x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

인수를 식별한다:

$= \underbrace{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sin x}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\cos x}_{\to 1}$

첫 번째 인수의 경우: $u = x^2 \to 0$ (when $x \to 0$ )이므로 $\sin(x^2)/x^2 \to 1$ .

두 번째의 경우: $x/\sin x = 1/(\sin x / x) \to 1$ .

극한:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

검증: $x = 0{,}01$ 일 때: $\sin(0{,}0001)/(0{,}01 \cdot \tan 0{,}01) \approx 1{,}000...$ . 확인됨.

출처. APEX Calculus, §1.3, Exercises 1.3 — 라이선스 CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· 치환을 이용한 1^∞ 부정형

문제: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$ 를 계산하시오.

전략: 밑이 1에 가까워지고 지수가 무한대로 간다: $1^\infty$ 부정형이다. $A^B = e^{B \ln A}$ 로 쓰고 지수를 따로 계산한다.

풀이:

지수로 다시 쓴다:

$\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \exp\!\left(x \ln\frac{x+3}{x-1}\right)$

로그의 인수를 단순화한다:

$\ln\frac{x+3}{x-1} = \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right)$

$x \ln(1 + 4/(x-1))$ 을 계산한다: $u = 4/(x-1)$ 이라 하면; $x \to \infty$ 일 때 $u \to 0^+$ . 그러면 $x - 1 = 4/u$ 이고 $x = 4/u + 1$ :

$x \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right) = \left(\frac{4}{u} + 1\right) \cdot u \cdot \frac{\ln(1+u)}{u} = (4 + u) \cdot \underbrace{\frac{\ln(1+u)}{u}}_{\to 1} \xrightarrow{u \to 0} 4$

최종 극한:

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = e^4$

검증: $x = 10^4$ 일 때: $((10^4 + 3)/(10^4 - 1))^{10^4} \approx e^4 \approx 54{,}598$ . 확인됨.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Exercises — 라이선스 CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 4Modeling 7Challenge 1

Ex. 45.1Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ 를 계산하시오. (답: 3.)
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Ex. 45.2Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.3ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.4Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ 를 계산하시오. (답: $1/2$ .)
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Ex. 45.5Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.6Application
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.7ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}$ 를 계산하시오. (답: $e^3$ .)
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Ex. 45.8Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.9Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.10Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.11Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x}$ 를 계산하시오. (답: $\ln 3$ .)
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Ex. 45.12Application
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.13Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.14Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$ 를 계산하시오.
Solve online
Ex. 45.15Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.16Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.17ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ 를 계산하시오. (답: $0$ .)
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Ex. 45.18Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.19Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.20ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.21Application
$\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$ 를 계산하시오. (답: $e^{-1/2}$ .)
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Ex. 45.22Application
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.23ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x}$ 를 계산하시오.
Solve online
Ex. 45.24ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 1} x^{1/(x-1)}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.25ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.26Application
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.27Application
$\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2}\right)$ 를 계산하시오. (답: $-1/2$ .)
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Ex. 45.28ApplicationAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{1/x}$ 를 계산하시오.
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Ex. 45.29Modeling
1,000원이 연 5%의 연속 이율로 10년간 투자된다. $V = V_0 e^{rT}$ 를 사용하여 최종 금액을 계산하시오. 이는 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} V_0\!\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nT}$ 이며, $r = 0{,}05$ , $T = 10$ 이다. ( $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ 사용)
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Ex. 45.30ModelingAnswer key
방사능 동위원소의 반감기는 5년이다. 12년 후 남은 분율은 $N(12)/N_0$ 는 얼마인가? $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ 를 사용하되, $\lambda = \ln 2 / 5$ 이다. (답: $\approx 0{,}188$ .)
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Ex. 45.31Modeling
단순 진자의 방정식은 $\ddot{\theta} + (g/L)\sin\theta = 0$ 이다. 작은 진동에서 $\sin\theta$ 를 $\theta$ 로 바꾸는 것이 수학적으로 타당한 이유를 설명하고, $\theta = 10°$ 에서의 상대 오차를 계산하시오.
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Ex. 45.32Modeling
근축 광학에서는 $\sin\theta \approx \theta$ 와 $\tan\theta \approx \theta$ 를 사용한다. $\theta = 5°$ 에서 각 근사의 상대 오차를 계산하고 둘 다 $0{,}5\%$ 이하임을 확인하시오.
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Ex. 45.33Modeling
희귀 사건: $n$ 번의 시도에서 각각 확률 $p = \lambda/n$ . $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 가 포아송 분포 $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ 로 수렴함을 ( $n \to \infty$ , $\lambda$ 고정) 보이시오. 어떤 기본 극한이 사용되는가?
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Ex. 45.34Modeling
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$ 를 계산하시오. (답: $e^{-1/6}$ .)
Solve online
Ex. 45.35ModelingAnswer key
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\bigl(\ln(x+1) - \ln x\bigr)$ 를 계산하시오.
Solve online
Ex. 45.36Understanding
왜 $\sin(x)/x$ 는 $x = 0$ 에서 정의되지 않지만, $x \to 0$ 일 때의 극한은 존재하며 값이 1인가?
Solve online
Ex. 45.37Understanding
조임정리를 적용하기 위한 필수 조건은 무엇인가?
Solve online
Ex. 45.38Understanding
극한 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 이 정의하는 것은 무엇이며, 급수 $\sum_{k=0}^\infty 1/k!$ 과의 관계는?
Solve online
Ex. 45.39Understanding
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ 과 $e^x$ 의 미분 사이의 정확한 관계는?
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Ex. 45.40Challenge
도전 문제. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ 를 계산하시오. (답: $1/2$ .)
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출처

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · 2016 · CC-BY-NC-SA 4.0. 주요 출처. §2.3 (극한의 법칙과 조임정리), §3.5 (삼각함수 미분 — sin(x)/x의 기하학적 증명), §3.9 (지수 및 로그 함수의 미분 — LF3를 통한 e의 정의).
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC 4.0. §1.3 (극한을 해석적으로 구하기). 대수적 조작 연습, LF1과 LF3의 변형, 탄젠트 빼기 사인 도전 문제.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA 4.0. §2.2 (사인 및 코사인 함수 — 진자 모델링 및 방사능 붕괴), §2.6 (역함수의 미분 — 아크사인 및 아크탄젠트 극한). 모델링 연습.