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46강 — TVI와 평균 변화율

중간값 정리(근의 존재성, 이분법)와 평균 변화율(할선의 기울기, 미분으로 가는 다리).

Used in: 고등학교 2학년(미분 입문) · 일본 수학II 동등과정 §5 · 독일 분석/11학년 동등과정

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

정의와 정리

중간값 정리(TVI)

" $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $k$ 가 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 임의의 값이면, $(a, b)$ 에 $f(c) = k$ 인 수 $c$ 가 적어도 하나 존재한다." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Theorem 2.13

따름정리(근의 존재성). $f \in C([a, b])$ 이고 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 이면, $f(c) = 0$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.

f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a,b) : f(c) = 0

what this means · 음의 곱은 반대 부호를 의미한다: f(a)와 f(b)는 0의 반대쪽에 있으므로, f는 어떤 내부점에서 0을 지나야 한다.

증명(완비성을 통한 스케치). $f(a) < 0 < f(b)$ 라고 가정하자. $S = \{x \in [a, b] : f(x) < 0\}$ 이라 정의하면, $S$ 는 공집합이 아니고( $a \in S$ ) $b$ 로 위로 유계된다. $\mathbb{R}$ 의 완비성에 의해, $c = \sup S \in [a, b]$ 가 존재한다. $f$ 의 연속성에 의해, $f(c) \neq 0$ 이면 모순이 발생한다. 따라서 $f(c) = 0$ 이다. $\square$

연속성이 필수인 이유. Heaviside 함수 $H(x) = 0$ (if $x < 0$ ) 그리고 $H(x) = 1$ (if $x \geq 0$ )는 $H(-1) = 0$ 이고 $H(1) = 1$ 을 만족하지만, 절대 $1/2$ 를 택하지 않는다 — $x = 0$ 에서 뛰어넘음이 있고 거기서 연속이 아니기 때문이다.

이분법

주어진 $f \in C([a, b])$ with $f(a)f(b) < 0$ , 이분법은 반복적으로 근을 찾는다. 각 단계에서, 중점을 계산하고 $f$ 가 부호를 바꾸는 반을 유지한다:

m_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad |c - m_n| \leq \frac{b - a}{2^{n+1}}

what this means · 각 반복에서, 중점 m_n이 현재 구간을 나눈다. 오차는 각 단계마다 절반으로 감소한다 — 수렴이 보장되고 정량화 가능하다.

정확도 $\varepsilon$ 를 위해, $n \geq \lceil \log_2((b-a)/\varepsilon) \rceil - 1$ 반복이 필요하다.

평균 변화율(TVM)

"구간 $[a, b]$ 에 따른 $f$ 의 평균 변화율은 $\text{AV}_{[a,b]} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이다. 기하학적으로, 평균 변화율은 점 $(a, f(a))$ 과 $(b, f(b))$ 를 지나는 직선의 기울기를 나타낸다." — Active Calculus, §1.1, Definition 1.1.4

$h = b - a$ 를 사용한 표기법은 동등하다:

\text{TVM} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad h = b - a \neq 0

what this means · b = a + h로 대치하면, TVM은 증분 h로 표현된다. h → 0일 때, 이 식이 미분을 정의한다 — 순간 변화율.

극한으로의 전환. $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

할선은 (a, f(a))에서 (b, f(b))로 이어진다. 그 기울기는 TVM이다. b → a일 때, 할선은 a에서의 접선으로 수렴하고, 그 기울기는 f'(a)이다.

풀이된 예제

Example— 1· TVI — 다항식 근의 존재

문제. $f(x) = x^3 - x - 1$ 이 구간 $(1, 2)$ 에서 적어도 하나의 근을 가짐을 보이시오.

전략. $f$ 가 연속임을 확인하고 $f(1)$ 과 $f(2)$ 가 부호가 반대임을 확인한다. 그렇다면 TVI가 존재를 보장한다.

풀이.

연속성: $f(x) = x^3 - x - 1$ 은 다항식이므로 $\mathbb{R}$ 에서 연속이고, 특히 $[1, 2]$ 에서 연속이다.
끝점 계산:

$f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0$

TVI 적용: $f(1) < 0 < f(2)$ 이고 $f$ 가 $[1, 2]$ 에서 연속이므로, TVI에 의해 $f(c) = 0$ 인 $c \in (1, 2)$ 가 존재한다.

검증. $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ 이고 $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ 이다. 근이 $(1{,}3;\; 1{,}4)$ 에서 확인되었다. 수치적으로, $c \approx 1{,}3247$ .

출처. Active Calculus §1.1, Example 1.1.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA. 조정됨.

Example— 2· 이분법 — 4 반복과 오차 분석

문제. 이분법을 사용하여 $(1, 2)$ 에서 $f(x) = x^3 - x - 1$ 의 근을 4번 반복으로 근사하시오. 이 반복 후 최대 오차는 얼마인가?

전략. 각 단계에서 중점 $m$ 을 계산하고, $f(m)$ 을 평가하며, 부호가 바뀌는 반을 유지한다.

풀이.

초기 데이터: $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 5 > 0$ .

반복 1: $m_1 = (1 + 2)/2 = 1{,}5$ . $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$ . 새 구간: $[1;\; 1{,}5]$ .

반복 2: $m_2 = (1 + 1{,}5)/2 = 1{,}25$ . $f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0$ . 새 구간: $[1{,}25;\; 1{,}5]$ .

반복 3: $m_3 = (1{,}25 + 1{,}5)/2 = 1{,}375$ . $f(1{,}375) = 2{,}600 - 1{,}375 - 1 = 0{,}225 > 0$ . 새 구간: $[1{,}25;\; 1{,}375]$ .

반복 4: $m_4 = (1{,}25 + 1{,}375)/2 = 1{,}3125$ . $f(1{,}3125) = 2{,}259 - 1{,}3125 - 1 = -0{,}053 < 0$ . 새 구간: $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ .

4번 반복 후 최대 오차:

$|c - m_4| \leq \frac{b - a}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$

검증. $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ 의 중점은 $1{,}34375 \approx 1{,}34$ 이고, $f(1{,}34375) \approx -0{,}0059 < 0$ 이다. 실제 근 $c \approx 1{,}3247$ 이 구간에 있다 — 확인됨.

출처. REAMAT — 수치 미분 §3.1, Example 3.1 — UFRGS · CC-BY 4.0.

Example— 3· TVM — 운동학과 평균 속도

문제. 입자의 위치(미터 단위)가 초 단위로 $s(t) = t^2 + 3t$ 이다. 구간 $[1, 4]$ 에서 $s$ 의 TVM을 계산하고 해석하시오.

전략. 직접 $\text{TVM} = (s(4) - s(1))/(4 - 1)$ 을 적용한다. 그 다음 $s'(t) = 2t + 3$ 과 비교하여 TVM과 같은 순간 속도를 가지는 순간을 찾는다.

풀이.

$s(1)$ 과 $s(4)$ 계산:

$s(1) = 1 + 3 = 4 \text{ m}, \qquad s(4) = 16 + 12 = 28 \text{ m}$

TVM 계산:

$\text{TVM} = \frac{28 - 4}{4 - 1} = \frac{24}{3} = 8 \text{ m/s}$

해석: 입자는 3초 동안 24미터를 이동했고, 평균 속도는 8 m/s이다.
미분과의 연결: $s'(t) = 2t + 3$ . $s'(c) = 8$ 을 원한다: $2c + 3 = 8 \Rightarrow c = 2{,}5 \in (1, 4)$ . 미분 중간값 정리(강 56)가 이 $c$ 의 존재를 공식적으로 보장할 것이다.

검증. $s'(1) = 5$ m/s, $s'(4) = 11$ m/s. TVM의 8 m/s는 끝점에서의 순간 속도 사이에 있다 — 맞다.

출처. Active Calculus §1.1, Preview Activity 1.1.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· TVM 대수와 극한으로의 전이

문제. $f(x) = x^2$ 에 대해, 구간 $[2, 2+h]$ ( $h \neq 0$ )에서 TVM을 계산하고 $h \to 0$ 일 때 일어나는 일을 보이시오.

전략. $h$ 로 함수로서 TVM을 계산하고, 대수적으로 단순화한 후, 극한을 취한다 — 이것이 $f'(2)$ 를 드러낸다.

풀이.

$[2, 2+h]$ 에서의 TVM:

$\text{TVM} = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

$(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ 전개:

$\text{TVM} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$

극한 취하기:

$\lim_{h \to 0}(4 + h) = 4 = f'(2)$

검증. $h = 1$ 의 경우: TVM $= 5$ . $h = 0{,}1$ : TVM $= 4{,}1$ . $h = 0{,}01$ : TVM $= 4{,}01$ . 할선은 기울기 4를 가진 $(2, 4)$ 에서 접선으로 수렴한다.

출처. Active Calculus §1.3, Example 1.3.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· TVM과 TVI 결합 — 표 형식 데이터

문제. 차량의 위치(km에서)와 시간(시간에서)의 관계는:

$t$ (h)	0	0,5	1	1,5	2
$s(t)$ (km)	0	20	50	90	140

(a) 각 0.5시간 부분 구간에서 TVM을 계산하시오. (b) $[0, 2]$ 에서 전체 TVM을 계산하시오. (c) 순간 속도가 여행 중 어느 시점에 80 km/h에 도달했는가?

전략. 각 구간에 TVM 공식을 적용; (c)에 대해, 속도 함수에 TVI를 적용한다.

풀이.

(a) 부분 구간별 TVM:

$\text{TVM}_{[0;\, 0{,}5]} = \frac{20}{0{,}5} = 40 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[0{,}5;\, 1]} = \frac{30}{0{,}5} = 60 \text{ km/h}$ $\text{TVM}_{[1;\, 1{,}5]} = \frac{40}{0{,}5} = 80 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[1{,}5;\, 2]} = \frac{50}{0{,}5} = 100 \text{ km/h}$

(b) 전체 TVM:

$\text{TVM}_{[0;\, 2]} = \frac{140 - 0}{2} = 70 \text{ km/h}$

(c) 80 km/h의 속도. $s$ 가 미분가능하다고 가정하면, 속도 $v(t) = s'(t)$ 는 연속이다. TVM에 의해: $v$ 는 $[0{,}5;\; 1]$ 에서 평균 60 km/h이고 $[1;\; 1{,}5]$ 에서 80 km/h이다. TVI를 $v$ 에 적용하면, $[0{,}5;\; 1{,}5]$ 의 어느 순간에 $v(t) = 80$ km/h가 존재한다. 답: 그렇다.

검증. $[0{,}5;\; 1{,}5]$ 에서의 평균 속도는 $(90 - 20)/1 = 70$ km/h $< 80$ km/h이지만, 속도는 반의 60에서 100으로 증가했다 — 내부에서 80 km/h를 통과해야 한다.

출처. Active Calculus §1.1, Example 1.1.3 and Exercises 1.1.3–1.1.5 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 46.1Application
TVI를 사용하여 $f(x) = x^3 - x - 1$ 이 구간 $(1, 2)$ 에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오. $f$ 의 어떤 성질이 필요한가? 단계별로 정당화하시오.
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Ex. 46.2Application
함수 $f(x) = x^3 - 2x - 5$ 이 TVI로 보장되는 근을 가지는 길이 1의 어느 구간에서 가지는가? (답: $(2, 3)$ .)
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Ex. 46.3Application
방정식 $\cos x = x$ 이 $(0, \pi/2)$ 에서 해를 가지는가? (답: 그렇다.)
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Ex. 46.4Application
방정식 $e^x + x = 3$ 이 구간 $(0, 1)$ 에서 해를 가짐을 보이시오. $f$ 를 적절히 정의하고, 연속성을 확인한 후, TVI를 적용하시오.
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Ex. 46.5ApplicationAnswer key
TVI가 $f(x) = x^5 + x^3 - 1$ 의 $(0, 1)$ 에서의 근을 보장하는가? (답: 그렇다.)
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Ex. 46.6Understanding
모든 홀수 차 다항식은 적어도 하나의 실근을 가진다. 왜인가?
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Ex. 46.7Application
방정식 $\ln x = e^{-x}$ 이 구간 $(1, e)$ 에서 해를 가짐을 보이시오.
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Ex. 46.8Understanding
$f(a)$ 와 $f(b)$ 가 같은 부호를 가지면, $(a, b)$ 에서 $f$ 가 근을 가지지 않는다고 결론 내릴 수 있는가?
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Ex. 46.9ChallengeAnswer key
$f$ 는 $[0, 1]$ 에서 연속이고 $f(0) = f(1)$ 이다. $f(c) = f(c + 1/2)$ 인 $c \in [0, 1/2]$ 가 존재함을 보이시오. 힌트: $g(x) = f(x) - f(x + 1/2)$ 로 정의하고 TVI를 적용하시오.
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Ex. 46.10ApplicationAnswer key
TVI를 적용하여 $f(x) = x^4 - 2x - 1$ 이 구간 $(-1, 0)$ 과 $(1, 2)$ 각각에서 적어도 하나의 근을 가짐을 보이시오.
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Ex. 46.11ApplicationAnswer key
$f(x) = x^3 - x - 1$ 을 $[1, 2]$ 에서 이분법의 1 반복을 적용하시오. 새 구간은 무엇인가? (답: $[1;\\; 1{,}5]$ .)
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Ex. 46.12ApplicationAnswer key
$f(x) = x^3 - x - 1$ 의 이분법 2번 반복 후 $[1, 2]$ 에서, 구간은 무엇인가? (답: $[1{,}25;\\; 1{,}5]$ .)
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Ex. 46.13Application
이분법 3번 반복 후 $[1, 2]$ 에서 최대 오차는 얼마인가? (답: $0{,}125$ .)
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Ex. 46.14Application
$[1, 2]$ 에서 이분법의 몇 번 반복이 오차 $10^{-5}$ 보다 작음을 보장하는가? 계산을 보이시오. (답: 17.)
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Ex. 46.15Modeling
방정식 $x \cdot 2^x = 1$ 이 구간 $(0, 1)$ 에서 해를 가지는가? (답: 그렇다.)
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Ex. 46.16ApplicationAnswer key
$[1, 2]$ 에서 이분법의 몇 번 반복이 오차 $10^{-6}$ 보다 작음을 보장하는가? (답: 20.)
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Ex. 46.17Challenge
$f(x) = \cos x - x$ 을 $[0, \pi/2]$ 에서 이분법 4번 반복을 적용하시오. 종이에 계산을 실행하고 각 반복에서 결과 구간을 쓰시오.
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Ex. 46.18Modeling
프로젝트의 내부수익률(IRR)은 $\text{NPV}(r) = 0$ 로 정의된다. TVI와 이분법을 이를 위치 지정하는 데 사용할 수 있는가?
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Ex. 46.19ApplicationAnswer key
$f(x) = x^2 + 3$ 의 $[1, 4]$ 에서 TVM을 계산하시오. (답: 5.)
Solve online
Ex. 46.20Application
$f(x) = -x^2 + 4x$ 의 $[2, 4]$ 에서 TVM을 계산하시오. (답: $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.21Application
$f(x) = 2x^2 + 1$ 의 $[2, 4]$ 에서 TVM을 계산하시오. (답: 12.)
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Ex. 46.22ApplicationAnswer key
$f(x) = x^2$ 의 구간 $[2, 2+h]$ ( $h \neq 0$ )에서 TVM을 계산하시오. (답: $4 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.23Application
$f(x) = x^2 + x$ 의 구간 $[0, h]$ ( $h \neq 0$ )에서 TVM을 계산하시오. (답: $1 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.24Application
$f(x) = \sqrt{x}$ 의 $[1, 3]$ 에서 TVM을 계산하시오. 정확한 형태로 답을 남기시오. (답: $(\sqrt{3}-1)/2$ .)
Solve online
Ex. 46.25Application
$f(x) = 1/x$ 의 $[1/2, 1]$ 에서 TVM을 계산하시오. (답: $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.26Application
물체의 위치는 $s(t) = 5t^2$ 미터( $t$ 는 초)이다. 구간 $[1, 4]$ s에서의 평균 속도는 무엇인가? (답: 25 m/s.)
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Ex. 46.27Application
$f(x) = x^2$ 의 구간 $[a, a+h]$ 에서 TVM을 $a$ 와 $h$ 로 계산하시오. $h \to 0$ 일 때 무엇이 일어나는가? (답: $2a + h$ ; 극한은 $f'(a) = 2a$ .)
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Ex. 46.28ApplicationAnswer key
$f(x) = 1/x$ 의 구간 $[a, a+h]$ 에서 TVM을 $a$ 와 $h$ 로 계산하시오. (답: $-1/(a(a+h))$ ; 극한은 $-1/a^2$ .)
Solve online
Ex. 46.29Modeling
입자의 위치는 $s(t) = t^2 + t$ 미터( $t$ 는 초)이다. 구간 $[2, 5]$ s에서 평균 속도는 얼마인가? (답: 8 m/s.)
Solve online
Ex. 46.30Modeling
도시의 온도는 자정에 27°C였고 오전 6시에 15°C였다. 이 기간에 온도의 평균 변화율은 얼마인가? (답: $-2\,^\circ$ C/h.)
Solve online
Ex. 46.31Modeling
생산의 비용 함수는 $C(q)$ (R$)이다. $C(100) = 1{.}000$ 이고 $C(200) = 1{.}500$ 이다. 100에서 200단위를 생산하는 평균 한계 비용은 얼마인가?
Solve online
Ex. 46.32Modeling
자유 낙하 물체의 높이는 $h(t) = -4{,}9t^2 + 20$ 미터이다. 구간 $[0, 3]$ s에서 평균 속도는 얼마인가? (답: $-14{,}7$ m/s.)
Solve online
Ex. 46.33Modeling
도시의 인구는 2020년에 1,000,000명이었고 2030년에 1,030,000명이었다. 인구의 평균 연간 변화율은 얼마인가? (답: 3,000 hab./year.)
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Ex. 46.34Modeling
$s(t) = 5t^2$ m에 대해, 구간 $[1, 1+h]$ 에서 TVM을 $h$ 로 계산하시오. $h \to 0$ 일 때 무엇이 일어나는가? (답: $10 + 5h$ ; 극한은 10 m/s.)
Solve online
Ex. 46.35ModelingAnswer key
주식이 R$ 100에 구매되고 2년 후 R$ 115에 판매되었다. 기간의 총 백분율 수익은 얼마인가? (답: 15%.)
Solve online
Ex. 46.36Challenge
$s(t) = t^2 + 3t$ 에 대해, $[1, 4]$ 에서 TVM은 8 m/s이다. $s'(t)$ 를 계산하고 $s'(c) = 8$ 인 $c \in (1, 4)$ 를 찾으시오. 이 결과는 무엇을 예고하는가?
Solve online
Ex. 46.37Modeling
회사의 월 매출은 1월 R$ 700에서 7월 R$ 2,800로 증가했다(6개월). 매출의 평균 월 변화율은 얼마인가? (답: R$ 350/month.)
Solve online
Ex. 46.38Understanding
평균 변화율 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 의 기하학적 의미는 무엇인가?
Solve online
Ex. 46.39Understanding
TVI는 $[a, b]$ 에서 연속인 $f$ 에 대해 무엇을 보장하는가?
Solve online
Ex. 46.40Proof
구간 $[a, b]$ 가 점 $a$ 로 축소될 때, 미분 $f'(a)$ 가 평균 변화율의 극한임을 공식적으로 증명하시오.
Solve online

출처

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. 1차 자료. §1.1 (How Do We Measure Velocity?) and §1.3 (The Derivative at a Point) — Exemplos 3, 4, 5, Blocos C, D 및 E의 기초.
OpenStax Calculus: Volume 1 — OpenStax · Rice University · 2016 · CC-BY-NC-SA. §2.4 (Continuity and TVI) — Exemplo 1과 Blocos A 및 E의 기초. §2.1 (A Preview of Calculus) — Bloco D의 기초.
REAMAT — 수치 미분(Python) — UFRGS · 2024 · CC-BY 4.0. §3.1 (Método da Bisseção) — Exemplo 2와 Bloco B의 기초.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024 · CC-BY-SA. §3.3 — $\mathbb{R}$ 의 완비성을 통한 TVI의 증명 (공식 Porta).