Lição 47 — 점근선과 점근적 거동

$f(x) = \dfrac{5}{x^2 - 9}$의 모든 수직 점근선을 결정하고 수평 점근선을 구하라.

$f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1}$의 수직 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$의 수직 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{1}{x}$에 대해 AV를 결정하고 두 단측 극한을 계산하여 부호를 나타내라.

$f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - x}$의 유일한 수직 점근선을 결정하라.

$f(x) = \tan x$의 모든 수직 점근선을 결정하고 설명하라.

$f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$의 수직 점근선을 결정하라.

함수 $f(x) = \ln x$는 수직 점근선을 가지나? 그렇다면 어느 점에서 그리고 극한의 부호는?

함수 $f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}$가 $x = 0$에서 AV를 가지나? $x = 1$에서? 각 경우를 정당화하라.

$f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$의 모든 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}$의 점근선을 결정하라.

유리함수 $f(x) = P(x)/(x^2 - 1)$이 반드시 $x = 1$과 $x = -1$에서 AV를 가지나?

$f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$의 수평 점근선을 결정하라.

$f(x) = e^{-x}$의 수평 점근선을 $+\infty$와 $-\infty$에서 각각 결정하라.

$f(x) = \arctan x$의 수평 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$의 사선 점근선과 수직 점근선을 결정하라.

장나눗셈으로 $f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2}$의 사선 점근선을 결정하라.

극한 방법 ($m = \lim f/x$, 그 다음 $b$)을 이용하여 $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$의 사선 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$의 사선 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x}$를 분석하라: 단순화하고, 가능한 점근선을 파악하고, 완전한 그래프를 설명하라.

$f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$의 모든 점근선을 파악하라.

$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$의 모든 점근선을 파악하라.

$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x - 1}$의 모든 점근선을 파악하라.

$f(x) = \tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$의 수평 점근선을 결정하라.

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$의 사선 점근선을 결정하라.

$f(x) = x \cdot e^{-x}$의 점근선을 결정하라.

$f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 1}$의 모든 점근선을 결정하라.

제1차 제거 약동학에서 $C(t) = C_0 e^{-kt}$ ($k > 0$). 수평 점근선을 결정하고 임상적으로 해석하라.

모형 $C(t) = \dfrac{At}{t + k}$ (약물 농도 mg/L)에서 AH를 결정하고 농도가 평탄의 $50\%$에 도달하는 시간 $t_{50}$을 계산하라.

총 비용 $C(q) = F + cq$. 평균 비용 $\bar{C}(q) = C(q)/q$. $\bar{C}$의 점근선을 결정하고 경제적으로 해석하라.

로지스틱 모형 $P(t) = \dfrac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$에서 AH를 결정하고 생물학적으로 해석하라.

속도에 비례하는 저항이 있는 낙하체: $v(t) = \dfrac{mg}{k}\!\left(1 - e^{-kt/m}\right)$. 수평 점근선을 결정하고 파라미터 $m$과 $k$의 역할을 설명하라.

모형 $C(t) = \dfrac{120t}{t + 4}$ (mg/L)에서 농도가 점근 값의 $90\%$에 도달하는 데 걸리는 시간은?

점 하전의 전기장은 $E(r) = kq/r^2$ ($r > 0$). 점근선 (AH, AV)을 결정하고 물리적으로 해석하라.

쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$은 사선 점근선을 가짐. 이를 결정하고 가지들과 점근선을 스케치하라.

이차 총 비용: $C(q) = aq^2 + bq + F$ ($a > 0$). 평균 비용 $\bar{C}(q) = C(q)/q$은 어떤 사선 점근선을 가지나? 경제적으로 해석하라.

함수가 자신의 수평 점근선을 가로질러갈 수 있나?

함수가 같은 방향 ($x \to +\infty$)에서 수평 점근선과 사선 점근선을 동시에 가질 수 있나?

$f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 1}$의 모든 점근선을 결정하라.

$y = mx + b$가 $f$의 사선 점근선이면 필수적으로 $m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x$이고 $b = \lim_{x \to \infty}(f(x) - mx)$임을 증명하라.

함수가 $x \to +\infty$일 때 동시에 수평 점근선과 사선 점근선 ($m \neq 0$)을 가질 수 없음을 엄격하게 증명하라.

$f = P/Q$가 유리함수이고 $\deg P = \deg Q = n$이면 $f$는 AH $y = a_n/b_n$을 가지고 여기서 $a_n, b_n$은 각각 $P$, $Q$의 선행 계수임을 증명하라.