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Lição 48 — Limites de funções trigonométricas

Continuidade de seno, cosseno e tangente; os dois limites fundamentais sin x/x e (1−cos x)/x; generalizações; teorema do confronto; aplicações em física.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrischer Funktionen)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

엄밀한 정의와 조작 기법

삼각함수의 연속성

기본 극한: 기하학적 증명

Theorem· 삼각함수의 기본 극한

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

증명 (면적 논증, $x \in (0, \pi/2)$ ). 단위원을 고려합니다. 각도 $x$ 인 부채꼴의 면적은 $x/2$ 입니다. 내접 삼각형의 면적은 $(\sin x)/2$ 이고 외접 삼각형의 면적은 $(\tan x)/2$ 입니다. 면적의 포함 관계로부터:

$\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}.$

$(\sin x)/2 > 0$ 으로 나누면:

$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}.$

역수를 취하면 (부등호가 역전됨):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1.$

$x \to 0^+$ 일 때 $\cos x \to 1$ 이므로, 압축 정리에 의해: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ . $x \to 0^-$ 인 경우, $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ 라는 사실을 사용합니다. 따라서 양쪽 극한은 1입니다. $\square$

"We can use the squeeze theorem to tackle several important limits. [...] The first involves the sine function." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

기본 삼각함수 극한

Definition· $x \to 0$일 때 극한 표

극한	값	설명
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$	$1$	기본 극한
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$	$0$	켤레를 통해
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	항등식 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ 을 통해
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$	$1$	$= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx}$	$\dfrac{a}{b}$	치환 $u = ax$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$	$\dfrac{a}{b}$	모두 기본 극한을 통해 1로 수렴

2차 극한의 증명

$(1 - \cos x)/x^2 \to 1/2$ : 항등식 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ 사용:

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \to \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$

$\tan x / x \to 1$ :

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.$

$\sin(ax)/(bx) \to a/b$ : $u = ax$ 로 놓으면, $x \to 0$ 일 때 $u \to 0$ :

$\frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin u}{u} \to \frac{a}{b}.$

압축 정리

$\tan$ , $\sec$ , $\csc$ , $\cot$ 의 수직 점근선

$x = \pi/2 + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ )에서: $\cos x = 0$ 이고 $\sin x = \pm 1$ 이므로:

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = +\infty, \quad \lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x = -\infty.$

마찬가지로, $\csc x = 1/\sin x$ 는 $x = k\pi$ 에서 점근선을 가지고 $\cot x = \cos x / \sin x$ 도 마찬가지입니다.

$x = \pm\pi/2$ 근처의 $\tan x$ 그래프: 반대 부호의 한쪽 극한을 갖는 수직 점근선.

풀이 예제

Example— 1· 연속성과 직접 대입

문제: $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ 를 계산하세요.

전략: $\sin x$ 와 $\cos x$ 는 모든 $\mathbb{R}$ 에서 연속이고, 연속 함수의 선형 결합은 연속이므로, 단순히 $x = \pi/3$ 을 대입할 수 있습니다.

풀이:

연속성 확인: 함수 $\sin x$ 와 $\cos x$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 연속이므로, 합 $2\sin x + \cos x$ 도 연속입니다.
직접 대입:

$\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x) = 2\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}.$

값 계산:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}.$

수치 검증: $\pi/3 \approx 1.047$ ; $2\sin(1.047) + \cos(1.047) \approx 2(0.866) + 0.500 = 2.232 \approx \sqrt{3} + 0.5$ . 맞습니다.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.23 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· sin(ax)/bx 형태의 극한

문제: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ 를 계산하세요.

전략: $a = 5$ , $b = 3$ 인 $\sin(ax)/(bx)$ 형태를 확인합니다. $\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}$ 로 다시 써서 기본 극한으로 축약합니다.

풀이:

5를 곱하고 나누어 다시 쓰기:

$\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}.$

극한 적용: $x \to 0$ 일 때, $5x \to 0$ 도 마찬가지입니다. 따라서:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1.$

결합:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}.$

검증: $x = 0.001$ 에서: $\sin(0.005)/0.003 \approx 1.666\overline{6} = 5/3$ . 맞습니다.

출처. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· tan과 sin을 포함한 극한

문제: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$ 를 계산하세요.

전략: $\tan(3x) = \sin(3x)/\cos(3x)$ 로 다시 쓰고 알려진 극한으로 수렴하는 인수로 분리합니다.

풀이:

$\tan$ 다시 쓰기:

$\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x) \cdot \sin(5x)}.$

인수로 곱하고 나누기:

$= \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3}{5\cos(3x)}.$

알려진 극한 적용:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(3x)} = 1.$

결합:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}.$

검증: $x = 0.01$ 에서: $\tan(0.03)/\sin(0.05) \approx 0.030009/0.049979 \approx 0.600 = 3/5$ . 맞습니다.

출처. APEX Calculus, §1.3, Exercises p. 49 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· 진동하는 함수에 적용된 압축 정리

문제: $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 를 계산하세요.

전략: 함수 $\cos(1/x)$ 는 $x \to 0$ 일 때 한계없이 진동합니다. 극한의 곱을 사용할 수 없습니다. 하지만 $|\cos(1/x)| \leq 1$ 이므로, $x^2\cos(1/x)$ 를 극한이 0인 두 함수 사이에 "집어넣을" 수 있고 압축 정리를 적용할 수 있습니다.

풀이:

부등식 수립: 모든 $x \neq 0$ 에 대해, $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1$ . $x^2 \geq 0$ 으로 곱하면:

$-x^2 \leq x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2.$

한계 함수의 극한 계산:

$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$

압축 정리 적용: 중간 함수가 0으로 수렴하는 두 함수 사이에 갇혀 있으므로:

$\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

검증: $\lim(x^2) \cdot \lim(\cos(1/x))$ 를 쓸 수 없습니다. 두 번째 극한이 존재하지 않기 때문입니다. 압축은 우아하게 이 장애를 우회합니다.

출처. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, The Squeeze Theorem — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· 진자의 작은 각 근사

문제: 작은 각도에 대해, 극한 $\lim_{\theta \to 0}\sin\theta/\theta = 1$ 을 사용하여 진자 주기가 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ 에 근접함을 보이세요. $\theta_0 = 10°$ 에 대해 $T$ 의 상대 오차 백분율을 계산하세요.

전략: 근사 $\sin\theta \approx \theta$ 는 비선형 미분방정식을 선형으로 변환하여 주기 $T_0$ 를 얻습니다. 주기의 1차 보정은 $\sin\theta$ 의 테일러 급수에서 비롯됩니다.

풀이:

정확한 미분방정식: $\ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0$ .
작은 각 근사: $\lim_{\theta \to 0} \sin\theta/\theta = 1$ 이므로, 작은 $\theta$ 에 대해: $\sin\theta \approx \theta$ . 방정식이 다음이 됩니다:

$\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.$

이것은 주파수 $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ 이고 주기 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ 인 단순 조화 진동자입니다.

1차 보정: $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ 을 사용하면, 정확한 주기의 확장은:

$T = T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \cdots\right).$

$\theta_0 = 10°$ 에 대한 상대 오차:

$\frac{T - T_0}{T_0} \approx \frac{\theta_0^2}{16} = \frac{(0.1745)^2}{16} \approx 0.0019 = 0.19\%.$

실제 주기는 $10°$ 진동에서 $T_0$ 보다 약 $0.19\%$ 초과합니다.

검증: $\theta_0 = 30°$ 에서: 오차 $\approx (0.5236)^2/16 \approx 1.71\%$ — 여전히 작지만 더 이상 무시할 수 없습니다.

출처. Active Calculus, §2.2, Activity 2.2.2 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 4Modeling 3Challenge 2Proof 1

Ex. 48.1Application
$\lim_{x \to \pi/4} \sin x$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.2Application
$\lim_{x \to \pi/2} \cos x$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.3ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to \pi/6} \tan x$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.4Application
$\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.5Application
$\lim_{x \to \pi} (\sin x + 2\cos x)$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.6Understanding
$\sin x$ , $\cos x$ 및 $\tan x$ 의 연속성에 대한 어느 명제가 정확한가요?
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Ex. 48.7Application
$\lim_{x \to 0} \sin x$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.8Understanding
$\lim_{x \to \pi/2} \tan x$ 에서는 무슨 일이 일어나나요?
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Ex. 48.9Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{x}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.10Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.11ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.12Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{x}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.13Application
$\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x - \pi}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.14Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x \sin(2x)}{x^2}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.15Application
$\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{x - \pi/2}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.16ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.17Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.18Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.19Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.20ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(3x)}{1 - \cos(2x)}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.21Application
$\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin(\pi - x)}{\pi - x}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.22ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(a + x) - \sin a}{x}$ 를 계산하세요 (여기서 $a$ 는 상수입니다).
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Ex. 48.23Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(a + x) - \cos a}{x}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.24ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} x \cot x$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.25Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - \cos(3x)}{x^2}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.26ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sec x - 1}{x^2}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.27ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(ax)}{x}$ 를 계산하세요 (여기서 $a \neq 0$ 은 상수입니다).
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Ex. 48.28Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan(3x)}{\sin(2x)}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.29Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x)}{x}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.30Application
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.31Understanding
$\lim_{x \to 0} x^2\sin(1/x)$ 를 계산하려면, 어느 방법이 올바르고 왜 그런가요?
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Ex. 48.32Understanding
$\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ 에서는 무슨 일이 일어나나요?
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Ex. 48.33Application
$\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 48.34Application
$\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.35Challenge
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.36ChallengeAnswer key
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x) - x}{x^3}$ 를 계산하세요.
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Ex. 48.37ProofAnswer key
단위원의 면적 논증과 압축 정리를 사용하여 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ 을 증명하세요.
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Ex. 48.38Modeling
단일 슬릿 회절 패턴에서, 강도는 $I(\theta) \propto \left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$ 이며 $u = \pi a\sin\theta/\lambda$ 입니다. 화면의 중심 ( $\theta = 0$ )에서 무슨 일이 일어나나요?
Solve online
Ex. 48.39Modeling
작은 각 근사 $\sin\theta \approx \theta$ 는 공학에서 기본입니다. $\theta_0 = 5°$ 에 대해, 상대 오차에 대한 어느 명제가 정확한가요?
Solve online
Ex. 48.40Modeling
진폭 $\theta_0$ 인 진자의 주기는 $T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)$ 을 따릅니다. $\theta_0 = 30°$ 및 $\theta_0 = 45°$ 에 대한 상대 오차 백분율을 계산하세요. 근사가 임상적으로 문제가 되기 시작하는 진폭은 무엇인가요 (오차 1% 이상)?
Solve online

출처

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · OpenStax · 2016 · §2.3 (극한의 법칙 — 삼각함수 극한, 압축 정리), §2.4 (연속성), §3.5 (삼각함수의 도함수) · CC-BY-NC-SA 4.0. 연습문제와 예제의 주요 출처.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.3 (극한을 해석적으로 찾기 — 삼각함수 부분, pp. 48–49) · CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.2 (사인과 코사인 함수, Activity 2.2.2) · CC-BY-SA 4.0.