49강 — 수열의 극한 (형식적 정의)

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}$ 을 결정하시오. 노트북에서 풀고 $n = 100$ 과 $n = 10000$ 에서 검증하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{n^2 + 2}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\cos^2 n}{n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 을 계산하시오. 노트북에서 처음 10개 항을 스케치하고 $e$로의 근사를 그리시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)$ 을 계산하시오.

부분합의 수열 $H_n = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots + \tfrac{1}{n}$ (조화급수): 수렴하나 발산하나?

부분합의 수열 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$: 수렴하나? 어떤 값으로?

$a_n = (-1)^n$ 이 수렴하나 발산하나를 결정하시오. 엡실론-N 정의 또는 유일성 논증을 사용하여 정당화하시오.

$a_1 = 1$ 이고 $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ (제곱근 2를 위한 헤론의 방법)이라 하자. $\lim a_n$ 을 계산하시오.

$a_1 = 1$ 이고 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 이라 하자. $\lim_{n \to \infty} a_n$ 을 결정하시오.

$a_0 = 0$ 이고 $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 3}{2}$ 라 하자. $\lim a_n$ 을 결정하시오.

$F_n$ 을 피보나치 수열이라 하자. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ 을 결정하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ 을 계산하시오.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ 을 계산하시오.

$a_1 = 1$ 이고 $a_{n+1} = \dfrac{1}{1 + a_n}$ 라 하자. $\lim a_n$ 을 계산하시오.

$0 < r < 1$ 에 대해, 부분합의 수열 $S_n = \sum_{k=0}^n r^k$: 증가하고 위로 유계임을 보여라, 따라서 수렴. 어떤 값으로?

1년에 대해 연 6% 이율로 $n$ 배씩 자본화한 R$ 1.000 투자. $n \to \infty$ 일 때 금액은?

자산이 월간 R$ 10을 영구적으로 지급 (영구 채권). 월 5% 이율로, 이 흐름의 현재 가치는? 기하급수 공식을 사용하시오.

급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ 은 수렴하나? 그렇다면, 합을 계산하시오.

공이 5미터 높이에서 떨어지고 각 점프가 이전 높이의 90%에 도달한다. 이동한 전체 거리는?

회사가 월 R$ 100의 배당금을 무기한 지급한다. 월 1% 할인율로, 오늘 회사의 공정한 가치는?

R$ 1.000을 연속 자본화로 연 12%에 투자하면 1년 후 얼마? 연간 자본화와 비교하시오.

경제학에서, 소득의 R$ 1은 $$ 를 지출하고 $$ 를 저축한다 (한계 소비 성향 $$). 소득 초기 증가 R$ 1의 전체 효과 (케인지안 승수)는?

자금 조달이 월 1%로 월 R$ 500을 무기한 지급한다. 기하급수의 극한을 사용하여 전체 현재 가치를 계산하시오.

수열 $a_n = n$ 이 수렴하나? 엡실론-N 정의를 사용하여 정당화하시오.

부분합의 수열 $S_n = \sum_{k=0}^n (1/2)^k$ 이 증가하고 위로 유계임을 증명하라, 따라서 단조수열 정리로 수렴한다.

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ 을 계산하시오. 노트북에서 처음 5개 부분합을 계산하여 수렴을 확인하시오.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 이 수렴함을 보여라. $S_{10}$ 을 계산하고 $\pi^2/6$ 과 비교하시오.

엡실론-N을 통해 엄격하게 증명하시오: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

극한의 대수학을 증명하시오: 만약 $\lim a_n = L$ 과 $\lim b_n = M$, 그러면 $\lim (a_n + b_n) = L + M$.