Lição 53 — Regra da cadeia

$\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$를 계산하세요.

$(\sin(4x))'$를 계산하세요.

$(e^{x^2})'$를 계산하세요.

$(\ln(x^2 + 1))'$를 계산하세요.

$(\sqrt{x^2+1})'$를 계산하세요.

$(\cos^2 x)'$를 계산하세요.

$(\tan(2x))'$를 계산하세요.

$(\sin(\cos x))'$를 계산하세요.

$(e^{\sin x})'$를 계산하세요.

$((\ln x)^3)'$를 계산하세요.

$(\sqrt{1-x^2})'$를 계산하세요.

$\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$를 계산하세요.

$(2^{x^2})'$를 계산하세요.

$(\sin^3(2x))'$를 계산하세요.

$(\arctan(x^2))'$를 계산하세요. (답: $2x/(1+x^4)$.)

$(\ln(\sin x))'$를 계산하세요.

$(e^{\cos(2x)})'$를 계산하세요.

$(\sqrt{\tan x})'$를 계산하세요.

$(\sin(\sqrt{x}))'$를 계산하세요.

$((3x+5)^{10})'$를 계산하세요.

$(\cos(3x^2+2))'$를 계산하세요.

$(\ln(\ln x))'$를 계산하세요.

$(x \cdot \sin(x^2))'$를 계산하세요.

$(x \cdot e^{x^2})'$를 계산하세요.

$(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$를 계산하세요.

$(\tan^2(3x))'$를 계산하세요.

곡선 $y = (x^2+1)^3$의 점 $x = 1$에서의 접선을 찾으세요. (답: $y = 24x - 16$.)

오류 분석. 학생이 $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$라고 쓰세요. 어떤 구체적 오류가 저질러졌나요?

개념. $\sin(x^2)$를 도함수 구하려면 어떤 규칙을 적용하나요? 왜 곱 규칙이 아닌가요?

$(e^{e^x})'$를 계산하세요.

물리학. 조화운동 중인 입자의 위치는 $s(t) = \sin(\omega t)$입니다. 가속도 $s''(t)$를 계산하고 $s''(t) = -\omega^2 s(t)$임을 보이세요.

원자핵 물리학. 방사성 붕괴는 $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$를 따릅니다. $N'(t)$를 계산하고 $N'(t) = -\lambda N(t)$임을 보이세요.

생물학. 물류 성장은 $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$입니다. $P'(0)$를 계산하세요.

통계. 표준 정규 밀도 함수 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$에 대해 $f'(x)$를 계산하세요.

재정. 비율 $r$로 할인된 캐시 흐름 $S$의 현재 가치는 $V(t) = S\,e^{-rt}$입니다. $dV/dt$를 계산하고 결과를 해석하세요.

물리학. 운동 에너지는 $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$이고 속도는 $v(t) = at$입니다. 연쇄 미분법으로 $dE/dt$를 계산하고 직접 도함수로 확인하세요.

$(\sin(\cos(\sin x)))'$를 계산하세요.

$\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$를 계산하세요.

$(\sin(e^{x^2}))'$를 계산하세요.

증명. 단순 논증 $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$가 연쇄 미분법의 엄밀한 증명으로 실패하는 이유를 설명하세요. 보조함수 $Q(y)$가 문제를 어떻게 해결하나요?