Lição 54 — Derivada implícita

원 $x^2 + y^2 = 1$에 대해 $dy/dx$를 구하세요.

타원 $x^2/4 + y^2/9 = 1$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$xy = 1$에 대해 음함수 미분으로 $dy/dx$를 계산합니다. $y = 1/x$를 직접 미분한 것과 일치함을 확인하세요.

쌍곡선 $x^2/9 - y^2/16 = 1$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$x^3 + y^3 = 6xy$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$x^2 y + xy^2 = 6$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$\tan y = x$에 대해 $dy/dx$를 계산합니다. 그 결과를 $\arctan x$의 미분으로 해석하세요.

$e^y = xy$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$\ln(xy) = x + y$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$에 대해 $dy/dx$를 구하고 점 $(1, 9)$에서 계산하세요.

$\cos(x + y) = y$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$\sin(xy) = x$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

$y^3 + 3y = x$에 대해 $dy/dx$를 계산하고 미분이 모든 점에서 존재하는지 논의합니다.

원 $x^2 + y^2 = 25$에서 점 $(3, 4)$의 접선을 구하세요.

타원 $x^2 + 4y^2 = 16$에서 점 $(2, \sqrt{3})$의 접선을 구하세요.

$x^2 + xy + y^2 = 7$에서 점 $(1, 2)$의 접선을 구하세요.

$x^3 + y^3 = 9$에서 점 $(1, 2)$의 접선을 구하세요.

$y\sin x = x\cos y$에 대해 $dy/dx$를 계산하세요.

원 $x^2 + y^2 = 1$에 대해 모든 수평 및 수직 접선의 점을 구합니다.

데카르트의 폴리움 $x^3 + y^3 = 3xy$에 대해 $dy/dx$를 계산하고 수평 접선의 점들을 구합니다.

데카르트의 폴리움 $x^3 + y^3 = 3xy$에서 점 $(3/2, 3/2)$의 접선을 구합니다.

이상 기체 법칙 $PV = nRT$에서 $T$를 상수로 유지하면서 음함수 미분으로 $dP/dV$를 구합니다.

곡선 $y^2 + xy = 12$에 대해 수평 또는 수직 접선이 있는 점이 있는지 판단합니다.

미시경제학에서 무차별 곡선 $U(x_1, x_2) = \bar{U}$는 소비자를 무관심하게 하는 두 재화의 조합을 나타냅니다. 음함수 미분을 사용하여 $dx_2/dx_1$을 구합니다 — 한계 대체율.

렘니스케이트 $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$에서 점 $(\sqrt{3}/2, 1/2)$의 $dy/dx$를 계산합니다.

$y = x^x$($x > 0$)인 경우 대수 미분으로 $y'$를 구합니다.

$y = x^{\sin x}$($x > 0$)인 경우 대수 미분으로 $y'$를 구합니다. $x = \pi$에서 계산합니다.

$x^2 + y^2 = r^2$에 대해 $d^2y/dx^2$을 $x, y, r$의 항으로 구합니다. $y > 0$에 대한 $y''$의 부호를 해석합니다.

타원 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$에 대해 $dy/dx$ 및 $d^2y/dx^2$를 계산합니다.

음함수 정리를 적용하기 위해 조건 $F_y \neq 0$이 필요한 이유는 무엇입니까?

명시적으로 $y$를 분리하고 미분하는 것과 비교하여 음함수 미분의 주요 장점은 무엇입니까?

음함수 미분을 사용하여 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 접선이 접점에서 반지름에 항상 수직임을 보입니다.

곡선 $F(x,y)=0$에 대해 접선이 존재하거나, 수직일 수 있는 경우와 점이 특이인 경우를 설명합니다.

$x^2 + y^2 = r^2$을 암시적으로 미분하는 것이 $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$을 명시적으로 미분하는 것과 같은 결과를 주는지 확인합니다.

$x$에 대해 $e^{xy} = x + y$를 암시적으로 미분할 때 $\frac{d}{dx}[e^y]$는 무엇입니까? 왜 단순히 $e^y$가 아닙니까?

곡선 $x^4 + y^4 = 1$에 대해 모든 수평 및 수직 접선의 점을 구합니다.

타원 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$에 대해 $y''$을 암시적으로 계산하고 타원 방정식을 사용하여 단순화합니다. (응답: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

$\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$에 대해 $(0, 0)$에서 $dy/dx$를 계산합니다. 점이 직접 공식에 대해 특이인 이유를 설명합니다.

증명. $x^a = e^{a\ln x}$를 사용하여 연쇄법칙으로 $(x^a)' = ax^{a-1}$을 $a \in \mathbb{R}$에 대해 증명합니다($x > 0$). 증명이 $a$가 무리수인 경우를 왜 커버하는지 설명합니다.